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Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias  

Ordem nos números reais
Dados dois números reais quaisquer teremos uma das seguintes alternativas: 

Igualdade 

Se os números são iguais, usamos o sinal = (igual a):
5 = 6 – 1 

Desigualdade 

Se os números são desiguais, usamos o sina l (diferente): 7  4
Nesse caso, temos as seguintes alternativas: 

•  Quando um número for maior que o outro, usamos o sinal > (maior que): 8 > 2
•  Quando um número for menor que o outro, usamos o sinal < (menor que): 7 < 12
•  Os sinais > e < podem vir combinados com o sinal = resultando  (maior ou igual)
e  (menor ou igual): {3  3, ou então 4  4}
•  Graficamente, um dado número é maior que b quando, na reta numérica, ficar à direita de (Figura 1).
•  Numericamente, podemos extrair outras conclusões quando a > b:
Figura 1
Exemplo:
- 3 é maior que - 14 e escrevemos - 3 > - 14
4/3 é maior que 2/3 4/3 > 2/3
A diferença entre eles é positiva; isto nos indicará que o subtraendo  é menor que o minuendo.
-3 - (- 14) = -3 + 14 = 11 e - 4/3 - 2/3 = 2/3

Explicando de maneira geral: 

a > b quando a – b der resultado positivo

Propriedades das desigualdades

Se somarmos o mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, obteremos outra desigualdade do mesmo sentido. Assim, se a < b, então:
a + c < b + c, sendo c um número qualquer.
Exemplo:

- 2 < 6 e também - 2 + 5 < 6 + 5, ou 3 < 11 

Se multiplicarmos os dois membros de uma desigualdade por um mesmo número positivo, obteremos outra desigualdade do mesmo sentido. Assim, se a < b e c é positivo, então
a X c < b X c
Exemplo:

- 3 < 5 e também - 3 x 4 < 5 x 4, ou - 12 < - 20 

Ao contrário, se multiplicarmos os membros da desigualdade por um número negativo, o resultado inverte a desigualdade. Assim, se a < b e c é negativo, então
a X c > b X c
Exemplo:

- 8 < 2, mas - 8 X ( - 3) > 2 X ( - 3), isto é, 24 > - 6 

Inequações de primeiro grau com uma incógnita
A inequação x  10 tem como solução o conjunto dos números reais que inclui o 10 e todos os números reais maiores do que ele (Figura 2, abaixo). 

Figura 2

Serão soluções: 10, 14, 23, 25, 121 e assim por diante. Assim, a inequação x < 0 terá como solução o conjunto dos números reais negativos, e a inequação x > 0 terá como solução o conjunto dos números reais positivos. Observe que, como não aparece o sinal =, em ambos os casos o número 0 fica excluído da solução (Figura 3, abaixo). 

Figura 3
Exemplo:

 

Dada a inequação: – 6x + 3 – x – 12, sua resolução inicia-se com transformações semelhantes àquelas que fazemos com as equações: 

– 6x + x – 12 – 3; – 5x – 15 

' Multiplicamos por – 1 obtendo 5x 15
' Multiplicamos por 1/5 e teremos: 1/5 X 5x  1/5 X 15
' (Para isolar x) x 3 (Figura 4, abaixo). São soluções 0; 1,5; 3/4; –13, ou seja, o conjunto dos números reais menores ou iguais a 3.
Figura 4

Inequações de segundo grau com uma incógnita
Para resolver as inequações de segundo grau, existem dois métodos: o gráfico e o método por decomposição. 

Método gráfico 

Para encontrar, graficamente, os valores de que verifiquem x2 + 3x – 10 > 0, teremos de desenhar a parábola x2 + 3x – 10 = y e encontrar os pontos para os quais ela assume valores positivos. Calculamos alguns pares ordenados que compõem a parábola: 

x –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3
y 8 0 –6 –10 –12 –12 –10 –6 0 8

Por estes pares ordenados, traçamos a parábola no gráfico e nela podemos ver que os valores positivos (em y) são dados a partir da união de duas semi-retas [–, – 5] e [2, +] no eixo x. Observe que os valores –5 e 2 estão excluídos da solução da inequação. 

Por decomposição 

Se resolvermos por decomposição, teremos de encontrar o produto de fatores lineares e estudar as possíveis soluções. Como já temos as duas raízes, podemos decompor a inequação diretamente: 

x2 + 3x – 10 = (x – 2) (x + 5) > 0

Que valores tornarão positiva tal expressão? 

Um produto de dois fatores resulta positivo quando: 

' Os dois fatores forem positivos, o que se verifica para x > 2.
' Os dois fatores forem negativos, o que se verifica para x < –5.

Desta forma, o conjunto solução da inequação x2 + 3x – 10 > 0 será formado pela união das duas semi-retas citadas anteriormente (Figura 5, abaixo). 

Figura 5

Sistemas de inequações
Quando uma mesma variável x  é dada em duas ou mais inequações, dizemos que se trata de um sistema de inequações. Por exemplo, se: 

x - 2   x - 2
  O sistema seria equivalente a:  
2x > - 8   x > - 4

As soluções estão representadas na Figura 6, abaixo: 

Figura 6
Exemplo:

Para chegar pontualmente ao cinema, peguei um táxi. Quando o taxímetro marcou 50 centavos de real, percebi que só estava com 10 reais (1 000 centavos). Quantas viradas do taxímetro (cada virada representa uma despesa de 5 centavos) foram dadas para que me sobrasse dinheiro para o cinema, uma vez que a entrada custa 6,25 reais (625 centavos)? 

Se chamarmos de o número de viradas do taxímetro, a inequação será
50 + 5x + 625 < 1 000 e, além disso, x > 0. Transformamos para: 

5x 325 x 65
   
x 0 x 0

O taxímetro poderá marcar entre 0 e 65 viradas (Figura 7, abaixo). 

Figura 7
EXERCÍCIOS

1. Sabemos que um número x é dado por x - 3 < 9. Que valores x pode assumir?

2. Os números 4, – 3, 0 e 5 são soluções da inequação 2x - 1 < 6 - x?

3. Se o perímetro de um triângulo eqüilátero é menor do que 16 cm, que valores inteiros pode ter o comprimento do lado?

4. Se x é um número que verifica 3 < 3x - 4 < 5, encontrar o intervalo a que pertence x.

5. Achar as soluções das inequações seguintes:
a) - 5 < 2x - 1 < 9
b) - 3 < 8x + 5 < 4
c) - 4 < 8 - 3x < 2/5

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