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Os planos movem-se? 

Por que as palavras ambulância e bombeiro são escritas ao contrário nos carros? Esta pergunta indica a necessidade de se conhecer os movimentos do plano. Esses movimentos e as propriedades que deles decorrem são ferramentas importantes nas artes plásticas, decoração e arquitetura. É preciso, porém, saber um pouco mais sobre o plano, um conceito intuitivo determinado por três pontos não-alinhados, uma reta e um ponto não contido nela, e duas retas que se cortam ou duas retas paralelas.
 

1. Definição

Figura 1
Em Geometria, as noções de ponto, reta e plano não são definidas, mas temos completa idéia de como são. Quando queremos representar algum desses elementos, usamos um modelo que traduza a noção. Podemos tomar por plano um conjunto de infinitos pontos. Assim, para representarmos um ponto, podemos fazê-lo com um sinal, letra ou símbolo (Figura 1, ao lado). 

Observe que ao estudarmos uma reta ou um plano não podemos fazer suas representações gráficas de maneira completa, pois têm conceitos ilimitados. 

Isso nos levará a adotar um modelo. No caso da reta, desenhamos uma parte dela. No caso do plano, desenhamos uma parte do mesmo, representando-o, por exemplo, por um paralelograma ou alguma outra figura fechada. 

2. Transformações
Se a cada ponto de um plano fizermos corresponder outro, obteremos uma transformação do mesmo. Por exemplo, assinalamos num plano (Figura 2, abaixo) um ponto qualquer A. 

Figura 2
Se tomarmos vários pontos a, b, c, d, e, ... e fizermos corresponder a cada um deles o ponto médio entre A e eles próprios – (A a), (A b), (A c), (A d) e (A e) –, este ponto correspondente chama-se imagem de de a, b, c, d ou e, e o denominamos a', b', c', d' ou e'. 
Figura 3
3. Movimentos
Observe agora os vários pontos que formam uma figura A qualquer. Desenhamos (calcando) esses pontos num papel e depois colocamos o papel em outra posição. A figura A transforma-se na figura A' (Figura 3, ao lado). Os pontos a, b e c têm por imagem, respectivamente, a', b' e c'. 

Veja que desenhamos apenas os pontos a, b e c e suas imagens, mas consideremos que, nessa transformação, cada ponto do plano tem uma imagem determinada. 

Para lembrar:

Uma particularidade a ressaltar nessa transformação é que a distância entre dois pontos e a distância entre suas duas imagens são iguais. Essas transformações recebem o nome de movimentos do plano.
Figura 4
4. Translações
Vamos desenhar um triângulo (Figura 4, ao lado). Agora, vamos colocar um papel transparente sobre ele e fazer um decalque. Desloque o papel em linha reta e desenhe o triângulo deslocado ou a imagem. Observe agora as trajetórias dos vértices. Comprove se são ou não retas paralelas (têm a mesma direção) e se possuem o mesmo comprimento. 

O triângulo original e o triângulo deslocado (imagem) são iguais, têm a mesma medida e a mesma forma. Lembre-se de que podemos sobrepô-los para comprovar.
Em seguida, realizaremos uma translação por meio de um vetor. 

Temos uma figura desenhada sobre uma superfície quadriculada e um segmento s orientado (vetor) que indica de quanto terá de ser a translação. Para assinalar que o segmento s é o segmento orientado, vamos escrevê-lo com uma pequena flecha sobre a letra  (Figura 5, abaixo). 

Figura 5
5. Translações sucessivas
Vamos aplicar agora duas translações seguidas ou sucessivas a uma figura. Primeiro, pela translação do segmento orientado , a figura A passa a A', deslocando-se a figura A nove quadrados da superfície para a direita. Em seguida, pela translação do segmento orientado , a figura A' passa a A', deslocando-se a figura A' 12 quadrados da superfície para a direita (Figura 6, abaixo). 
Figura 6
Observe que poderíamos passar a figura A para A' por meio de uma única translação, deslocando-a 21 quadrados da superfície (9 + 12) para a direita. Observe que as figuras A, A' e A' são idênticas. 
Uma figura e as que resultam da aplicação de uma ou mais translações a ela são iguais.
Figura 7
Uma maneira simples de materializar uma translação é recortar uma figura numa folha de cartolina. 

Se fizermos a figura recortada de uma borda da cartolina correr encostada a uma régua, a figura recortada experimenta repetidas translações. Em cada posição podemos desenhar a figura (Figura 7, ao lado). 

6. Propriedades das translações
Se aplicamos uma translação ao triângulo ABC, obtemos um novo triângulo A'B'C'. 

Os segmentos AA', BB' e CC' são iguais, paralelos e de mesmo sentido (Figura 8, abaixo). 

Figura 8
Numa translação, um ponto e sua imagem determinam um segmento. Outro ponto qualquer e sua imagem correspondente determinam um segmento igual, paralelo e de mesmo sentido que o primeiro ponto. Portanto: 
Para determinar uma translação, basta dar a imagem de um ponto qualquer. As imagens dos demais pontos são obtidas traçando-se segmentos iguais e paralelos.

7. Simetria

Figura 9
Podemos definir simetria como a correspondência biunívoca entre pontos com relação a um ponto central fixo,eixo ou plano. Para essa simetria, a cada ponto, corresponde outro a igual distância e de sentido contrário em relação ao ponto central, eixo ou plano. 
Figura 10
A simetria pode ser obtida, por exemplo, dobrando-se um papel em torno de uma reta de forma que um semiplano determinado pela reta se sobreponha ao outro (Figura 10, ao lado). 

 

Os pontos A' e B', da Figura 10, são simétricos de A e B em relação ao eixo e. 

8. Propriedades da simetria
Para encontrarmos o ponto simétrico de outro em relação a uma reta r, sobrepomos um semiplano de borda r ao seu oposto, sem mover os pontos de r (Figura 11, abaixo).

Figura 11

Esta construção tem as seguintes propriedades de simetria: 

Os pontos do eixo r (A, A' e D) são simétricos deles mesmos.
A reta (BB') que une um ponto a seu simétrico é perpendicular ao eixo r.
A distância de um ponto ao eixo r é igual à distância de seu ponto simétrico ao eixo: BO = B'O
•  Duas retas simétricas entre si com relação a um eixo r, ou cortam-se (aa') sobre r ou são retas paralelas (bb').
Os segmentos determinados por um ponto do eixo de simetria e dois pontos simétricos são iguais: CD = DC'.

9. Eixo de simetria

Figura 12

Existem algumas figuras que coincidem com suas figuras simétricas, a partir de eixos previamente escolhidos. Esses eixos recebem o nome de eixos de simetria, como na Figura 12, ao lado. 

Uma reta, por exemplo, é eixo de simetria de uma figura se, ao dobrarmos essa figura sobre a reta, as duas partes em que ela fica dividida coincidem (Figura 13, abaixo).

Figura 13
Certas figuras têm mais de um eixo. O quadrado, por exemplo, tem quatro eixos; a circunferência tem infinitos eixos que coincidem com seus infinitos diâmetros; figuras formadas por dois pontos têm dois eixos.


Algumas figuras geométricas podem ter vários eixos de simetria (Figura 15, abaixo). 


Figura 14 Figura 15

 

Se dois pontos A, B são simétricos de um eixo e, os pontos M, N e P desse eixo têm a propriedade de estar a igual distância de A e de B (Figura 14, acima).Esse eixo de simetria do par de pontos A, B recebe o nome de mediatriz do segmento AB. 

10. Produto de simetrias
Se a cada ponto de um plano aplicarmos uma simetria S de eixo e e à imagem obtida aplicarmos uma nova simetria S' de eixo e', obtemos outro ponto. Assim, se tivermos o ponto A, por meio da simetria S, ele se transforma em A' e, pela simetria S', se transforma em A' (Figura 16, abaixo).  

Figura 16
  A passagem direta do ponto A para o A' é uma transformação (e não uma simetria) que recebe o nome de produto das simetrias S e S'.

 


Observe agora as simetrias de F, F' e F' da Figura 17, abaixo. 

Figura 17
Figura 18


A compreensão dessas simetrias se facilitará se imaginarmos que foram obtidas através de sucessivas dobras do papel (Figura 18, ao lado). 

O produto de duas simetrias é um movimento; neste caso F por F' é o movimento F' (Figura 17, acima).


Figura 19
11. Translação e simetria
Duas simetrias de eixos paralelos dão lugar a uma translação. 

Vamos comprovar essa transformação de um modo muito simples e intuitivo. 

Pegamos uma folha de papel, na qual tenhamos marcado um símbolo qualquer (R), e realizamos duas dobras com eixos paralelos (Figura 19, ao lado). 

Observe que em duas simetrias consecutivas com eixos paralelos, as linhas que ligam os pontos que se correspondem têm o mesmo comprimento e são paralelas. 

Essas duas simetrias podem ser substituídas por uma translação; isto é, a transformação que resulta dessas duas simetrias é uma translação. 


Figura 20
12. Rotações
Um exemplo prático para observar uma rotação é fixar um papel desenhado na parede com um percevejo ou alfinete e girá-lo. O movimento descrito pelo papel em relação ao ponto fixo é uma rotação (Figura 20, ao lado). 
Figura 21

A Figura 21, acima, mostra outro exemplo interessante de rotação: 

Na barra decorativa acima, exemplo de movimento no plano, com direção definida e longitude específica

Se a um ponto qualquer A aplicarmos a simetria S de eixo e, obtemos A'.
Se a este ponto (A') aplicarmos agora a simetria de eixo e', obtemos A'.
Observe agora que se o ponto O = e  e', 
OA = OA' e OA' = OA', portanto OA = OA'.
Conseguimos passar assim do ponto A ao ponto A' por meio de uma rotação de centro O.
EXERCÍCIOS

1. Indicar quais das figuras seguintes apresentam simetrias e quais não apresentam:

2. Comprove se algumas das figuras abaixo têm vários eixos de simetria. Em caso afirmativo, desenhe essas figuras.

3. Quantos eixos de simetria possui um retângulo, um losango, um quadrado e um paralelogramo?