Como classificar e medir os corpos no espaço? 

O espaço é o ambiente em que situamos nossa intuição e nossas experiências. Nele percebemos várias curvas, sólidos e superfícies. Tocamos num objeto sentindo sua forma e seu volume. O campo da Matemática que estuda as figuras espaciais é denominado Geometria Espacial. Os poliedros são figuras espaciais limitadas por quatro ou mais polígonos chamados faces. As interseções das faces formam as  arestas e as interseções das arestas  formam vértices.
 

1. Posições das retas no espaço
Duas retas no espaço podem ser: 

Figura 1a	Figura 1b	Figura 1c	Figura 1d

2. Posições dos planos
Dois planos no espaço podem ser: 

Ângulo diedro 

Quando dois planos são secantes, eles dividem o espaço em quatro partes e cada uma delas chama-se diedro ou ângulo diédrico. 

Se os quatro ângulos diédricos forem iguais, os planos são perpendiculares entre si (Figura 2). 

Figura 2

Ângulo poliédrico 

Pegue como exemplo uma pirâmide de base quadrada (Figura 3). 

Se pudéssemos elevar e baixar a ponta da pirâmide, obteríamos muitas pirâmides distintas com a mesma base e altura variável. 

Se a altura aumenta, o ângulo poliédrico do vértice diminui. 

Inversamente, se a altura diminui, o ângulo poliédrico do vértice aumenta. Mas ele nunca poderá chegar a 360°, pois a pirâmide se confundiria com a base. 

Figura 3

Assim, podemos dizer que: a soma dos ângulos das faces de um ângulo poliédrico deve ser sempre menor que 360°. 

3. O cubo
O cubo é o poliedro convexo encontrado com mais freqüência. Os dados e as peças de alguns quebra-cabeças, por exemplo, têm forma cúbica. Também usamos como unidade de volume o metro cúbico. 

Figura 4

A área total da superfície de um cubo é obtida multiplicando-se por 6 a área de uma face, já que ele é formado de seis quadrados iguais. Se indicarmos o comprimento da aresta por a e a área da superfície do cubo por S, teremos: 

Figura 5

Ao planificarmos um cubo, obtemos seis quadrados iguais. Veja a seguir como é simples construir um cubo de cartolina (Figura 5). 

O volume do cubo é obtido elevando-se à terceira potência o comprimento da aresta. 

Figura 6

Se a aresta do cubo medir 1 metro, cada face terá 1 m² de área e diremos que o cubo tem 1 m³ de volume. Se o lado do cubo medir 2 metros, dentro dele caberão oito cubos de 1 m³ cada (Figura 6). 

4. Os paralelepípedos retângulo e oblíquo
O paralelepípedo retângulo é um poliedro que tem por faces seis retângulos, dois a dois iguais e paralelos. 

Já vimos esta forma geométrica diversas vezes. Um tijolo, uma caixa de sapatos e uma casa costumam ser paralelepípedos retângulos. 

As 12 arestas de um paralelepípedo retângulo não são todas iguais; encontramos três classes de comprimentos distintos. 

Figura 7

Sendo a, b e h os comprimentos das arestas, tomaremos a e b como medidas da base e h como medida da aresta lateral que representa a altura (Figura 7). 

A área da superfície do paralelepípedo retângulo é a soma das áreas das suas seis faces. 

São duas faces retangulares de área aXb, duas de área aXh e duas de área bXh. 

Assim, a fórmula para seu cálculo será: 

É o mesmo que multiplicar o perímetro da base pela altura e acrescentar a área das duas bases: 

Onde p é o perímetro da base e A é a área de uma base. 

Figura 8

Para calcular o volume de um paralelepípedo retângulo, tomamos um cubo de 1 m³ como unidade de medida. Este cabe cinco vezes em um lado da base e duas vezes no outro lado (Figura 8): 

O retângulo da base poderá ser decomposto em dez unidades e, em cima, podemos colocar outra camada igual: se a altura for de 3 metros, podemos colocar mais duas camadas de dez unidades. 

Portanto, teremos 30 cubos e o volume será V = 10 m³ X 3 = 30 m³; com o que deduzimos: 

Figura 9

Mas a área da base (A) obtém-se multiplicando a X b. Então, o volume pode ser expresso como o produto das três dimensões: 

Um paralelepípedo oblíquo é o poliedro que tem por faces seis paralelogramos, dois a dois iguais e paralelos (Figura 9): 

5. O prisma
O prisma reto é um poliedro que tem por bases dois polígonos quaisquer e por faces laterais, retângulos. Chama-se reto porque suas arestas são perpendiculares aos planos das bases. Um exemplo clássico dessa figura geométrica são os campanários das igrejas. 

As faces retangulares formam a superfície lateral do prisma. Os lados dessas faces que não pertencem à base são as arestas laterais. A altura é a distância entre as bases. 

Figura 10a	Figura 10b

Quando o prisma é reto (Figura 10a), as arestas laterais são perpendiculares às bases e correspondem à sua altura. 

Um prisma oblíquo é obtido deslocando-se paralelamente uma das bases sobre o mesmo plano. A altura já não corresponderá às arestas laterais (Figura 10b). 

Figura 11

A área da superfície lateral de um prisma reto é obtida multiplicando-se o perímetro da base pela altura. A área total da superfície de um prisma é obtida somando-se a área lateral e a área das duas bases (Figura 11). 

onde p  é o perímetro da base,
h  é a altura e
A  é a área da base. 

Para lembrar:

Do que foi visto até aqui, concluímos que: 

6. A pirâmide
A figura abaixo nos remete às pirâmides dos faraós egípcios, construídas a 2000 a.C. As estruturas piramidais são observadas também em alguns telhados de torres ou campanários e nas cúpulas de grandes edifícios, como nas do Museu do Louvre remodelado, em Paris. 

Figura 12a	Figura 12b	Figura 12c

A pirâmide é um poliedro que tem por base um polígono qualquer e triângulos (faces laterais). Esses triângulos constituem a superfície lateral da pirâmide e os lados dos triângulos que não pertencem à base são as arestas laterais. A altura é a distância entre o vértice e o plano da base. 

Se o pé da altura estiver no centro do polígono da base, a pirâmide chama-se pirâmide reta (Figura 12a). Caso contrário, será uma pirâmide oblíqua (Figura 12b). 

Se, além disso, a base for um polígono regular, diz-se que se trata de uma pirâmide regular e suas faces laterais serão triângulos isósceles iguais. 

A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é obtida multiplicando o perímetro da base pelo apótema e dividindo esse produto por 2 (Figura 12c). 

Onde a é o apótema e p é o perímetro. 

A área total é obtida somando-se à área lateral, a área da base: 

O volume de uma pirâmide é um terço do produto da área da base pela altura. 

7. Poliedros regulares
Um poliedro é regular quando todas as suas faces são polígonos regulares e congruentes entre si e os ângulos poliédricos também são congruentes entre si. 

Só existem cinco tipos de poliedros regulares: o tetraedro, o octaedro, o icosaedro, o hexaedro ou o cubo e o dodecaedro. Esses poliedros são também conhecidos por poliedros de Platão. 

Se as faces do poliedro forem triângulos eqüiláteros, podemos verificar três casos: 

Figura 13

Não podemos ir adiante, pois 6 faces X 60° = 360° e isto não é possível. 

Mas, de forma ordenada, obtivemos o tetraedro, o octaedro e o icosaedro (Figura 13, acima). 

Figura 14

Por isso, só existe um poliedro regular com faces quadradas: o cubo ou hexaedro regular. 

Se as faces forem pentágonos regulares, só poderemos construir o dodecaedro com 12 pentágonos (Figura 14), pois cada ângulo de um pentágono regular mede 108° e com três pentágonos em um vértice teríamos 324°, menor que 360°.