Como calcular a fração geratriz?

A fração geratriz de uma decimal exata é obtida escrevendo-se no numerador a decimal sem a vírgula e, no denominador, uma potência de 10 com tantos zeros quantos sejam as casas decimais da decimal exata.

Exemplo: Qual a geratriz de 2,75?

2,75 = 275 / 100 = simplificando por 5 = 55 / 20 = 11 / 4.

A fração geratriz de uma decimal periódica é obtida conforme exemplos a seguir:

Exemplo 1 - qual a geratriz da dízima 2,333...?

Fazendo x = 2,333... resulta 10x = 23,333...

Logo, 10x - x = 23,333... - 2,333...

que resulta  9x = 21,  donde concluímos que  x = 21/9 = 7/3.

Exemplo 2 - qual a geratriz da dízima 1,3636363...?

Fazendo x = 1,3636363... resulta 100x = 136,363636...

Logo, 100x - x = 136,363636... - 1,3636363...

que resulta 99x = 135, donde concluímos que x = 135 / 99 = 45 / 33 = 15 / 11.

Exemplo 3 - qual a geratriz da dízima 1,5777...?

Fazendo x = 1,5777... resulta 100x = 157,777...

Logo, 100x - x = 157,777... - 1,5777...

que resulta 99x = 156,2

Multiplicando ambos os membros por 10 (para eliminar a parte decimal), ficamos com:

990x = 1562, donde concluímos que  x = 1562 / 990 = simplificando por 11 =

142 / 90 = simplificando por 2 = 71 / 45.