Como calcular, sem ser pelo método da extração, a raiz quadrada de um número?

A raiz quadrada de números grandes, quando exatas, podem ser facilmente obtidas por decomposição em fatores primos.

Exemplos:

a) Qual a raiz quadrada de 324?

Decompondo 324 em seus fatores primos, encontramos 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3.

Agrupando os iguais de 2 em 2, ficamos com:

raiz de 324 = raiz de [(2 x 2) x (3 x 3) x (3 x 3)]

Multiplicando cada um dos parênteses, resulta: 

raiz de 324 = raiz de [4 x 9 x 9].

Como cada fator é quadrado perfeito, escrevemos:

raiz de 324 = 2 x 3 x 3 = 18.

b) Qual a raiz quadrada de 19600?

Decompondo: 19600 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 7 x 7.

Agrupando os iguais de 2 em 2 e multiplicando cada par, resulta:

raiz de 19600 = raiz de [4 x 4 x 25 x 49] = 2 x 2 x 5 x 7 = 140.

c) Qual a raiz de 500?

Decompondo: 500 = 2 x 2 x 5 x 5 x 5.

Ao agruparmos de 2 em 2, sobra um fator 5. Isso indica que a raiz não é exata. Nesse caso, não é possível determinar a raiz, mas é possível simplificar o radical.

Logo: raiz de 500 = raiz de [4 x 25 x 5] = 2 x 5 x raiz de 5 = 10 x raiz de 5.