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Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias  

Qual é o segredo das potências? 

Alguma vez você quis saber quantos grãos de areia existem no Universo? Se para você esta questão parece absurda, no século III a.C. viveu um sábio, o matemático grego Arquimedes, que se preocupava muito com o assunto. Para ele, o Universo era uma esfera limitada pelas estrelas fixas. Tentando encontrar o volume desta esfera, Arquimedes fez exatamente essa pergunta: quantos grãos de areia existem no Universo? Mais importante do que o resultado obtido foi o método que ele criou para chegar a esse resultado. Como precisava trabalhar com quantidades muito grandes, ele criou uma forma bastante simples de representá-las: as potências. Arquimedes achou que no Universo caberiam 1051 grãos de areia. Não subestime este número. Ele é realmente astronômico.

 
Figura 1  

1. Definição
Potência é um produto indicado de fatores iguais. Vamos chamar de base o fator que se repete e de expoente o número de vezes pelo qual o fator se multiplica. Assim,
35 = 3 X 3 X 3 X 3 X 3 = 243. 

Uma potência é representada da maneira que indica a Figura 1, ao lado, que lemos: 'a elevado a n', ou, como mostra a Figura 2, abaixo, que se lê: '5 elevado a 7'.

Figura 2

2. Quadrados e cubos
Elevar à segunda potência chama-se, também, elevar ao quadrado. Por exemplo, 32 = 9, porque o número resultante pode ser expresso como a área de um quadrado de lado 3. 

 

Os números 1, 4, 9, 16, 25 etc. também são conhecidos como quadrados perfeitos ou números quadrados. 

Vamos comprovar, na Figura 3, que podemos representar todos esses números em grades formando quadrados. 

 

Elevar à terceira potência chama-se também elevar ao cubo. 

 

Figura 3
Os cubos ou números cúbicos são os que resultam de se elevarem números naturais à potência 3, pois nos remetem ao volume de um cubo. 

São cubos 1, 8, 27, 64, 125 etc., porque são o resultado de 13, 23, 33, 43, 53, respectivamente. 

Figura 4 Figura 6
Cubo formado por 8 cubos menores Cubo formado por 27 cubos menores
   
Figura 5 Figura 7
Cubo formado por 64 cubos menores Cubo formado por 125 cubos menores
Estes números também podem ser representados a partir de cubos pequenos formando cubos maiores. 

Veja, ao lado, a representação gráfica dos números cúbicos (23, 33, 43, e 53) nas Figuras 4, 5, 6 e 7 . 

Podemos comprovar que a soma de dois números quadrados não é um número quadrado. 

Exemplo:
22 + 32  52 

Da mesma forma, é fácil verificar que o produto de dois quadrados é um quadrado. Continuando com as mesmas potências do exemplo anterior, vemos que: 

22 X 32 = 4 X 9 = 62 

3. Potências particulares
Potências de base 0 

Uma potência de base é igual a 0

0n = 0 

Aqui devemos garantir que n > 0. 

Potências de expoente 0 

A potência de expoente 0 é igual a 1 

a0 = a 

Da mesma forma, aqui devemos garantir que a  0 

Potências de expoente 1 

Uma potência de expoente é igual à base: 

a1 = a 

Potências de base 10  com expoente inteiro positivo 

Potências de base 10 resultam da multiplicação de vários números 10. Portanto, sempre equivalerão  à unidade seguida de tantos zeros quantos forem os indicados pelo expoente natural. 

Assim, temos que: 

101 = 10 
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
105 = 100000

Potências de base 10 com expoente inteiro negativo 

Convém familializar-se com as potências de base 10 e expoente negativo, pois se trata de uma notação muito utilizada em todas as expressões científicas. 

Assim, vemos que: 

10 – 1 = 0,1
10 – 2 = 0,01
10 – 3 = 0,001
10 – 4 = 0,0001
10 – 5 = 0,00001 

Quando discutirmos potências com expoente negativo, essas conclusões ficarão mais claras. 

4. Operações com potências
Vamos agora, estudar as regras gerais das operações com potências. 

Multiplicação de potências de mesma base 

O produto de potências de mesma base é igual a outra potência de mesma base cujo expoente é a soma dos expoentes dados. A expressão geral é: 

ab X ac = ab + c 

Porque:

ab = aX ... X   ac = aX ...X
   
  b vezes   c vezes

Logo,
ab X ac = aX ... X = ab + c
   
  b + c vezes  

 

Exemplo:
(– 3)2 X (– 3)3 =
(– 3) X (– 3) X (– 3) X (– 3) X (– 3) = (– 3)5 

Quociente de potências de mesma base 

O quociente de potências de mesma base equivale a outra potência de mesma base cujo expoente é a diferença dos expoentes dados. A expressão geral é: 

Exemplo:

Simplificando-se, temos: 

Potência de um produto 

A potência de um produto equivale ao produto dos fatores elevados ao mesmo expoente. 

A expressão geral é: 

(a X b)n = an X bn 
Exemplo:
[(– 5) X (– 3)]2 =
= (– 5) X (– 3) X (– 5) X (– 3) = (– 5) X (– 3)2 

Potência de uma divisão 

A potência de uma divisão equivale à divisão de duas potências cujas bases são o numerador e o denominador da divisão inicial, elevadas ao mesmo expoente. A expressão geral é: 

Exemplo:

Potência de uma potência 

A potência de uma potência equivale a outra, cuja base é a mesma e cujo expoente é o produto dos expoentes. A expressão geral é: 

(ab)n = abXn 
Exemplo:
[(– 2)3]4 = (–2)3 X (–2)3 X (–2)3 X (–2)3 = (–2)12 

Potência de expoente negativo 

Uma potência de expoente negativo equivale a uma fração de numerador 1 e denominador da mesma potência, mas com expoente positivo. A expressão geral é: 

Exemplo:

Potência de expoente fracionário 

Este item será melhor compreendido depois do estudo do capítulo sobre Radicais. 

Isto porque uma potência de expoente fracionário consiste numa raiz cujo radicando é a base da potência, elevado ao numerador do expoente, e o índice é o denominador do expoente. A expressão geral é: 

Exemplo:
EXERCÍCIOS

1. De um caminhão descarregou-se uma carga de oito caixotes num armazém. Em cada um deles há oito caixas com oito livros. De outro caminhão, descarregaram-se dez caixotes com dez caixas de dez livros. Quantos livros foram descarregados dos dois caminhões?

2. a) Escrever o número 1 como seis potências distintas.
b) Escrever o número 0 como seis potências distintas.

3. Simplificar a expressão: