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Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias  

Como se desfaz uma potenciação? 

Marcos tem várias bolas de borracha. Ele as guarda, aos pares, em caixas, que por sua vez são arrumadas, também de duas em duas, nas prateleiras de seu armário, ocupando duas prateleiras. Quantas bolas possui Marcos? Já sabemos que esse cálculo é feito por potenciação, pois 2 prateleiras com 2 caixas cada uma, com 2 bolas por caixa é o mesmo que 23 = 2 X 2 X 2 = 8. Mas como operar matematicamente se a situação estiver invertida, isto é, se quisermos saber como distribuir oito bolas de modo que os números de bolas por caixa, de caixas por prateleira e o número de prateleiras sejam iguais? Ou, em linguagem matemática, qual o fator que se repete três vezes resultando como produto 8? Ou ainda, em simbologia abstrata: quanto é? A resposta é= 2, porque 2 = 8. Assim, chama-se radiciação a esta inversão da potenciação. Encontrar um número que multiplicado por ele mesmo n vezes nos dê outro número conhecido equivale a extrair a raiz enésima de (Figura 1), pois bn = a, onde é um número natural não-nulo, chamado índice, e é o radicando. O radicando pode ser um número qualquer se for ímpar e deve ser não-negativo se for par. Isto ocorre porque, conforme já sabemos, uma potência de base negativa e expoente par resulta sempre em um número positivo. Logo, não podemos encontrar no conjunto dos números reais um número negativo que, multiplicado por ele mesmo um número par de vezes, nos dê outro número negativo.
 

Figura 1
1. Raiz quadrada de um número inteiro
A operação inversa de elevar ao quadrado é achar a raiz quadrada ou a raiz de índice 2. 

Em geral, se: 

x2 = y 

Teremos: 

 
Exemplo:

Dada a potência: 

Para lembrar:

Observe que quando o índice da raiz (n) é 2, habitualmente se escreve o sinal radical () sem índice.

2. Raiz inteira
Analise, por um momento, a seguinte pergunta: todos os números inteiros podem ter uma raiz inteira? A resposta é não. Só podem ter raiz inteira os números quadrados positivos ou o zero. 

Exemplo:

 


Masnão têm raiz inteira.
'

Outra questão importante: existe dentro do conjunto dos números inteiros a raiz quadrada de um número negativo?

A resposta também é não.

Para lembrar:

Tanto um número inteiro positivo como um número inteiro negativo elevado ao quadrado tem por resultado um número inteiro positivo. Portanto esta resposta só poderá ser encontrada nos
números imaginários.

3. Números irracionais
Também é possível achar a raiz quadrada de um número inteiro não-quadrado? 

O resultado dessa operação é um número irracional, pois não pode ser expresso como quociente de dois números inteiros nem, portanto, como número decimal exato ou periódico. 

Os números cuja expressão decimal possui infinitos algarismos não-periódicos chamam-se números irracionais. 

Para lembrar:

A raiz quadrada de um número natural, se não é inteira, é irracional. Portanto, são irracionais:

Também são números irracionais os resultados das operações de adição, subtração, multiplicação ou divisão entre um número irracional e números racionais. 

Exemplo:
é um número irracional, poisé um número irracional.

4. Dois números irracionais famosos 

O número 

Já utilizamos este número no cálculo do comprimento de uma circunferência ou da área de um círculo. Também o estudamos no capítulo sobre números reais. 

Sua expressão decimal é 3,1415926535..., ainda que, na prática, ele seja usado com seus valores aproximados 3,14 ou 3,1416. 

O número e 

Este é, possivelmente, o número mais importante utilizado em matemática superior. 

Seu valor decimal é 2,718... 

Ele é usado freqüentemente nos cálculos de certos processos de crescimento de uma população animal ou vegetal, na desintegração radioativa e na fórmula da catenária

5. Raiz quadrada exata de números racionais positivos
Vamos procurar a raiz quadrada de alguns números racionais positivos. 

Exemplo:

Se aplicarmos a propriedade dos radicais segundo a qual a raiz de um quociente é igual ao quociente dos radicais, teremos: 

6. Raiz quadrada inteira aproximada de números racionais
Existe um método para calcular a raiz quadrada aproximada de um número inteiro positivo. 

Veja o exemplo a seguir: 

Exemplo:

Vamos calcular a raiz quadrada do número 119 484, isto é, 

' Dividimos o radicando em grupos de dois algarismos, da direita para a esquerda:
lugar para a raiz
' Calculamos a raiz quadrada inteira do primeiro grupo de dois algarismos da esquerda. Depois, escrevemos o 3 no primeiro lugar da coluna da direita destinada ao resultado:
3
' Subtraímos do primeiro grupo da esquerda o quadrado da raiz inteira e unimos o resultado ao segundo grupo (baixamos o grupo seguinte):
3
   
   
' Multiplicamos 3 X 2 = 6 e calculamos mentalmente o maior número d, tal que 6d X d possa ser subtraído de 294:

3
64 X 4 = 256
   
' O número 4 é o algarismo das dezenas da raiz. Colocamos o 4 em seguida ao 3 e subtraímos de 294 o número 256. Depois, acrescentamos a diferença anterior (294 ­ 256) ao grupo seguinte:
3
64 X 4 = 256
   
   
   
   
   
' Multiplicamos 34 X 2 = 68 e procuramos um número tal que 68u X u seja o maior número que possamos subtrair de 3 884:
34
64 X 4 = 256
   
685 X 5 = 3 425
   
' Subtraímos de 3 884 o número 3 425. O resultado é o número 345 e o resto final, 459:
345
64 X 4 = 256
   
   
685 X 5 = 3 425
   
   
   
   
' Prova
Para comprovar se a raiz quadrada foi corretamente calculada, verifique se o quadrado da raiz mais o resto é igual ao radicando. Isto é, se:
(345)2 + 459 = 11 9484

7. Raiz cúbica
Os números cúbicos inteiros positivos e negativos têm raiz cúbica exata. 

Exemplo:
' Se o radicando for negativo, a raiz será negativa.
' Se o radicando for positivo, a raiz será positiva.

8. Propriedade fundamental dos radicais
Se multiplicarmos o índice e o expoente do radicando por um mesmo número não-nulo em um radical, o valor da raiz não se altera. 

A expressão geral desta propriedade é: 

 

Sendo um número natural qualquer diferente de zero. 

Veja por que: 

Se, sendo um número natural
qualquer;significa que: 

Substituímos agora por seu valor e ficamos com a expressão inicial: 

 

9. Operações com radicais 

Produto de radicais de mesmo índice 

Para multiplicarmos dois radicais de mesmo índice, multiplicamos os radicandos e conservamos o índice. 

A expressão geral desta propriedade é: 

 

Observe esta demonstração: 

' Se sabemos quee se, significa que xn = a e yn = b, o que é o mesmo que a X b = xn X yn = (x X y)n, onde se deduz queisto é, que.
Exemplo:

Divisão de radicais de mesmo índice 

Para dividir dois radicais de mesmo índice, dividimos os radicandos e conservamos o índice. 

A expressão geral é: 

Vamos demonstrar isto na expressão geral: 

' Se temos, isto implica que xn = a;
' Se o radicando for positivo, a raiz será positiva.

Portanto: 

Isto é, substituindo-se, ficamos com: 

Exemplo:

Potência de um radical 

O resultado de elevar um radical a uma potência equivale a elevar o radicando a esta mesma potência. 

A expressão geral é: 

 

Acompanhe a demonstração: 

(Aplicando a propriedade do produto de raízes de mesmo índice, pela qual sabemos que equivale ao produto de radicando.) 

Exemplo:

Raiz de uma raiz 

Para extrair a raiz de um radical, multiplicam-se os índices. A expressão geral é: 

 

Observe a demonstração: 

Se

Isto significa que

;

Se

significa que

ou que

Portanto,



Isto é, substituindo-se ficamos com:

Exemplo:

Racionalização de denominadores 

Racionalizar os denominadores de uma fração significa operar para que não fiquem números irracionais no denominador. 

Exemplo:

Vamos racionalizar o denominador de: 

Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. 

Assim temos no denominador uma diferença de quadrados e podemos eliminar o radical do mesmo. 

Para calcular o produto dos numeradores, aplicamos a propriedade distributiva: 

Exemplo:

Trata-se agora de racionalizar e simplificar a fração: 

Que é a fração racionalizada de: 

EXERCÍCIOS

1. O piso de um banheiro tem uma superfície quadrada de 5 m2. Queremos revesti-lo com ladrilhos quadrados de 20 cm2 de superfície. Quantos ladrilhos teremos de colocar em cada lado do quadrado do piso?

2. Reduzir os seguintes radicais à sua forma mais simples:

3. Efetuar as seguintes operações e simplificar: