Como apreender os movimentos que ocorrem em um Universo infinitamente pequeno? 

Quem venceria uma corrida: um atleta olímpico ou uma tartaruga? A resposta a esta pergunta, aparentemente ridícula, abre o caminho para um importante conceito matemático, o conceito de Limite. Imagine a corrida. Para compensar a desvantagem da tartaruga, vamos colocá-la um pouco à frente do campeão, cerca de 10 metros ou 1 000 centímetros. Enquanto a tartaruga anda 1 centímetro em 1 segundo, o atleta percorre os 10 metros que o separam do vagaroso animal, e também completa o centímetro que ele caminhou. Assim, exatamente 1 segundo após o início da corrida, a 1 001 centímetros do ponto de partida do atleta, este ultrapassa a tartaruga. O filósofo grego Zenão, que viveu no século VI a.C., pensou de forma diferente a corrida entre o atleta e a tartaruga. Segundo ele, assim que a competição se inicia, por maior que seja a velocidade do corredor e a lerdeza da tartaruga, o animal estará sempre um pouco à frente, pois quando o atleta chegar à posição inicial da tartaruga, esta terá avançado um pouquinho mais. Repetindo infinitas vezes este raciocínio, chega-se à conclusão de que o corredor jamais ultrapassará a tartaruga. Sabemos, porém, que ao contrário do que sugeria Zenão, 1 segundo após o início da corrida o atleta ultrapassa a tartaruga. Como resolver essa contradição? A solução encontrada pelos matemáticos foi a seguinte: no instante 1 segundo temos a posição 1001 centímetros, na qual os dois competidores se encontram no mesmo ponto. Esta posição é o limite-ultrapassagem para onde os dois movimentos ocorrem. Antes desse limite, temos a sua vizinhança, na qual os movimentos acontecem em intervalos de tempo infinitamente pequenos e em que são percorridos espaços também infinitamente pequenos infinitesimais. É no interior desta vizinhança que as conclusões de Zenão se revelam verdadeiras.
 

1. Estudo dos limites de uma função
O estudo dos limites de uma função, seja ela contínua ou descontínua, permite ampliar nosso conhecimento sobre seu comportamento. Para um bom aproveitamento, é necessário conhecermos bem as funções e sua representação gráfica. Freqüentemente, a correta interpretação do gráfico de uma função pode nos revelar quais serão os limites dessa função. A seguir, vamos conhecer os diversos tipos de limites, que dependem das características das funções, e aprender como calcular e efetuar operações com alguns desses limites. 

2. Limites finitos:quando x tende para um número Real
Investigando um caso concreto, consideremos uma função definida para todos os números reais, exceto para x = 2, em que ela apresentará um ponto de descontinuidade (ponto em que o valor a de x para a função não está definido e, portanto, no qual ela deixa de ser contínua). 

Seja a função: 

Figura 1

A fração que define essa função pode ser simplificada sempre que x  2. Assim: 

Isto significa que se o valor de x estiver muito próximo de 2, sem chegar a se igualar a 2, o valor de f(x) também ficará muito próximo de 4. Assim, diremos que o limite de f(x) quando x tende para 2 é 4. De forma abreviada, escreveremos: 

Observando a Figura 1, percebemos que podemos redefinir a função f(x) de maneira que, para f(2), teremos a imagem 4. Desse modo, no gráfico da função desaparecerá o ponto de descontinuidade. 

Chamamos a isto de descontinuidade evitável (quando num ponto de descontinuidade, para um valor a de x, podemos atribuir para a função o valor do limite da mesma função quando x tende para a). 

Isso implica que a existência de um limite (l) de uma função descontínua num ponto significa uma 'quase continuidade' da função nesse ponto. Portanto, a definição de limite coincide quase plenamente com a de continuidade. 

Assim, dizemos que o número l é o limite da função f(x) quando x tende para x₀, e o designamos como:  

Para lembrar:

3. Limites laterais: quando x tende para um número Real
Vamos analisar, agora, um novo conceito: o de limites laterais. Com base em um segundo caso prático, observamos que continuamos tendo uma função f definida para todos os números Reais, menos para x = 2, que sofre uma mudança brusca. A expressão que define essa função é: 

Figura 2

Sua representação gráfica é indicada na Figura 2: 

Observando o gráfico, ao lado, percebemos que não existe o  porque, quando o valor de x se aproxima de 2, a função f(x) não se aproxima de um valor único. O fato é que o limite se aproxima de dois valores diferentes, dependendo de x ser maior ou menor do que 2. Em geral, diremos que o número l é o limite lateral da função f, quando x tende para x₀ pela esquerda. Seu número é definido na expressão:  

Tomando-se valores de x muito próximos de x₀, mas menores que x₀, os valores de f(x) também ficam muito próximos de l. De tal modo que a distância |f(x) -­ l| possa ser tão pequena quanto se queira, sempre que a diferença |x -­ x₀| for suficientemente pequena. 

Assim, para definir o limite lateral pela direita de uma função, procedemos da mesma maneira. Portanto, a mesma definição com algumas adequações pode ser usada. 

Retomando nosso exemplo, vejamos quais são os limites laterais paraf(x): 

4. Limites infinitos: quando x tende para um número Real

Figura 3

Para lembrar:

Além disso, o valor da função pode chegar a ser tão grande, em valor absoluto, quanto queiramos, com a condição de escolhermos um valor de x  suficientemente próximo de 0. É por este motivo que o eixo das ordenadas funciona como uma assíntota vertical. 

Qual é o limite de todas essas funções? 

Também é possível representar o limite da função h  da seguinte maneira: 

Para lembrar:

Tomando valores de x muito próximos de x₀, os valores de f(x) são muito grandes e positivos. Assim, f(x) pode ser maior do que qualquer outro número M pré-fixado, sempre que a distância |x ­- x₀| for suficientemente pequena. 

5. Limites finitos: quando x tende para o infinito
Nesse tipo de limites, os valores que x adquire são, em valores absolutos, muito elevados. Por isso, falamos de limites onde x tende para o infinito ou dizemos, de outra forma, que l é o limite da função f quando x tende para mais infinito.
Sua notação é:

Figura 4

quando (em razão do valor de x ser muito grande) o valor de f(x) se aproxima de l, de modo que a distância |f(x) -­ l| pode se tornar tão pequena quanto se queira, sempre e quando tomarmos um valor de x suficientemente grande. 

No exemplo da Figura 4, comprovamos o que foi explicado até agora. 

Na representação gráfica da função g, também indicada na Figura 4, parece que, à medida que cresce o valor de x, g(x) se aproxima cada vez mais de 0. 

Para lembrar:

Este comportamento da função g  é previsível se considerarmos a fração que a define. 

Como o numerador é um valor constante, se x  for muito grande, o denominador também o será e, assim, o valor da fração se aproximará muito de 0. 

Dessa maneira, podemos afirmar que: 

Sendo que, neste caso, l = 0. 

6. Limites infinitos: quando x tende para o infinito

Figura 5

Se observamos atentamente este gráfico, temos a impressão de que, quando x aumenta, f(x) assume rapidamente valores muito altos. 

De fato, este comportamento da função é previsível se analisarmos a expressão que define f. Se x for muito grande, o quadrado de x também será muito grande. Será ainda maior se o multiplicarmos por 3. Podemos escrever que, neste caso: 

Em geral, desdobramos essa expressão, escrevendo que o limite da função f é +  , quando x tende para + . Isso quando, ao crescer muito a variável x, a f(x) se torna tão grande quanto queiramos, com a condição de tomarmos um valor de x suficientemente grande. 

7. Cálculo de limites
Determinar diretamente o limite de uma função complicada não é tarefa das mais fáceis. Por isso, geralmente, simplificamos este cálculo considerando a função dada como uma série de operações com outras funções claramente mais simples. Vejamos, em seguida, como as operações entre funções afetam os limites. Se: 

onde l₁ e l₂ são dois números reais quaisquer, podemos afirmar que: 

•	Existe o limite da função quociente, e ele é o quociente dos limites sempre que l2  0:

Além disso, se: 

Figura 6

Até aqui, só nos referimos a operações com limites finitos, l. Veremos, agora, o que acontece quando pelo menos um dos dois limites é infinito. 

Todas as demonstrações seguintes são válidas para limites quando x  x₀ e quando |x | . 

As propriedades da soma e da diferença de limites são as mostradas na Figura 6. Para calcular o limite de um produto ou quociente de funções, contamos com as regras seguintes, expressas na Figura 7. 

Figura 7

8. Cálculo de limites para funções cujo

Figura 8

Vamos desenvolver agora, por meio de regras, o cálculo de limites para funções mais simples, quando o valor de x  tende para + (Figura 8). 

Limite de uma potência inteira 

Se k é um número Inteiro positivo e pode, portanto, adotar os valores k = 1, 2, 3,... dizemos que:  

E também que: 

Limite de uma expressão polinomial 

Quando a expressão de um polinômio é x  de grau k, existem duas possibilidades para se calcular o limite, dependendo do valor do coeficiente a do monômio de maior grau (expressão algébrica formada por um único termo que tanto pode ser um número quanto o produto de um número por uma ou mais variáveis). 

Limite de um quociente de polinômios 

Se a função corresponde à seguinte expressão: 

podemos estar diante de um dos três casos que apresentamos em seguida: 

•	Se n > d, o limite é e o sinal é determinado pelo quociente an/bd
•	Se n = d, o lim
•	Se n < d, o lim

Limite de 

Para funções do tipo: 

O limite é, sendo k um número Inteiro positivo (k  = 1, 2, 3, ...). 

Nessas funções, o valor de k influi no crescimento da função. Assim, quanto maior é o índice k, mais lento será o crescimento da função: 

Limite de x^r, sendo r um número Racional 

Nas funções em que r  é um número Racional, é possível distinguir duas situações: 

Limite de uma potência de base c e expoente x, ou c^x, sendo c > 0.

Neste caso, o limite da função depende do valor de c:

Limite de uma raiz de índice x, do tipo, sendo c > 0. 

Para qualquer valor positivo de c: 

Mas, se c > 1, a função se aproxima de 1 'de cima para baixo', pois todos os valores adquiridos por f(x) são superiores à unidade. Inversamente, se c < 1, essa aproximação se produz 'de baixo para cima' por uma razão análoga à anterior.

9. Limites de funções contínuas
Sempre que uma função f é contínua em x₀, existe o limite sempre que x tenda para x₀. Portanto:

A propriedade enunciada acima é que permite calcular de forma imediata os limites das funções polinomiais e das funções racionais nos pontos de continuidade. 

Para lembrar:

Por isso: 

Seja a função f(x) = x³ ­- 3x² + 3x -­ 2. 

Considerando o que foi dito antes, se quisermos calcular o limite da função acima, quando x  tende para 3, basta substituirmos x pelo valor para o qual ele tende. 

Obtemos assim: 

No caso das funções racionais, que também são sempre contínuas, exceto quando se anula o denominador, seu limite será: 

sempre que: 

bn X xn0 + ... + b0  0

Para calcular o limite de uma função g(x), definida abaixo, quando x tende para 3, temos: 

Observe que o limite coincide com o valor da função neste ponto e é calculado pela simples substituição de x  pelo valor para o qual tende. 

Mas o que ocorre para os valores de x  que anulam o denominador? 

Veja que na função g(x) há dois pontos de descontinuidade, quando x = 2 e x = 4, que são as soluções da equação x² ­ - 6x + 8 = 0 

Para calcular esses limites, sempre que possível, fatore (ou decomponha num produto de fatores) tanto o polinômio numerador quanto o polinômio denominador. 

No caso do nosso exemplo, obtemos: 

A partir disso, podemos calcular o limite para os dois pontos de descontinuidade. 

Cálculo do limite para os dois pontos de descontinuidade: 

Figura 9

Com base em toda essa informação, podemos representar graficamente a função g(x), como mostra a Figura 9. 

10. Limites das funções polinomiais quando |x|   

Dada a função polinomial: 

Observamos que, no cálculo do lim f(x), para um valor de x muito grande, o termo a_nxⁿ  também será muito maior que os x termos restantes do polinômio. 

Nesse caso, dizemos que a_nxⁿ é o termo dominante do polinômio. Portanto, para achar o limite de qualquer função polinomial, basta considerar o termo de maior grau, isto é, o termo que determina o grau do polinômio.  

Assim, na função: 

considerando o que foi exposto até agora, para calcular o limite de f (x), teremos: 

E também: 

11. Limites das funções racionais quando |x|  
Como já sabemos, as funções racionais aplicam-se a expressões do tipo: 

Observando a expressão acima, parece evidente que, se tentarmos achar o limite da função quando x  tende para, chegaremos a uma situação de indeterminação do tipo/. 

Mas é muito simples desfazer essa situação de indeterminação. Para tanto, usamos um artifício matemático, que consiste em dividir tanto o numerador como o denominador pela maior potência de x  que encontrarmos na função polinômica. Depois, podemos utilizar as propriedades dos limites. 

Realizadas essas transformações, obtemos um dos três casos seguintes: 

Seja a função: 

Se calcularmos o limite de f(x) quando x tende para , acontece o seguinte: 

E também: 

Observe que o sinal do limite é determinado pelos termos dominantes do numerador e do denominador. 

Assim, se temos a função 

e pretendemos calcular seu limite quando o valor de x  tende para o, acontece que: 

Este limite é o mesmo; portanto, coincide para a função g(x) quando x tende a . 

Figura 10

Se representarmos graficamente essas funções, encontraremos em todas elas uma assíntota horizontal correspondente à reta, como indica a Figura 10: 

e pretendemos achar o valor de seu limite, vemos que existe uma assíntota horizontal: 

Se, além disso, quisermos saber com que sinal a função tende a zero, teremos de realizar a comparação entre o termo dominante do numerador e do denominador: 

Seguindo o mesmo processo: 

E no que se refere ao comportamento da função quando se aproxima da assíntota: 

E também: 

EXERCÍCIOS 1. Seja a função a) Ela tem alguma descontinuidade? b) Calcule o 2. Calcular o lim h(x) e o lim h(x). Existe o lim h(x)? Seja 3. Seja a) Quantos pontos de descontinuidade tem esta função? b) Quais são esses pontos? c) Calcular o 4. Se o, qual será o? 5. Calcular os seguintes limites: a) b) c) d) 6. Calcular o limite da funçãoh(x)quandoxtende a 2 e a 0. A função é definida pela expressão polinômica seguinte: h(x) = 2x3 + x2 4x + 1. 7. Seja a função RacionalDeterminar os valores dexpara os quais a função é descontínua. Calcular o 8. Calcular o limite para x+e para x – nas seguintes funções: a) f(x) = 3x4 – x3 + x ­ 2 b) g(x) = – 2x2 – 2x + 5 c) h(x) = x5 + 2x4  – x2 – 9