Busca  
  Matemática   
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias  

Múltiplos e divisores de um número
Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. 
Exemplo:
 
Observe as seguintes divisões entre números Naturais:
As três primeiras divisões têm resto zero. Chamam-se divisões exatas. As duas últimas têm resto diferente de zero. Chamamos de divisão inteira. Um número é divisor do outro se o segundo é múltiplo do primeiro. 

O número 10 é múltiplo de 2; 12 é múltiplo de 3; 15 também é múltiplo de 3; mas 9 não é múltiplo de 2; e 15 não é múltiplo de 4.
Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5): 

M(2) = {0,2,4,6,8,...}.
M(5) = {0,5,10,15,20,...} 

Para lembrar:

O conjunto dos múltiplos de um número Natural não-nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números Naturais.

Observe:
M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,...} = {0,3,6,9,12,15,18,...} 

Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro.
No exemplo anterior, observamos que o número 10 é múltiplo de 2, conseqüentemente 2 é divisor de 10. 

Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto, 3 e 5 são divisores de 12 e 15, respectivamente.Vamos agora escrever o conjunto dos divisores de 15, indicado por D(15), e dos divisores de 20, isto é, D(20): 

D(15) = {1,3,5,15}
D(20) = {1,2,4,5,10,20} 

Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número. 

  Critérios de divisibilidade
Os critérios de divisibilidade são uma série de regras para averiguar se um número é ou não múltiplo de outro, sem a necessidade de efetuar a divisão de um pelo outro, principalmente quando os números são grandes.
Veja, em seguida, os critérios de divisibilidade mais comuns: 

Divisibilidade por 2 

Olhe para o conjunto dos múltiplos de 2, M(2), exposto acima. Observe que todos os elementos desse conjunto terminam em algarismo par. Assim, podemos dizer que um número é divisível por 2 se o algarismo das unidades for par. 

Exemplo:

Os números 22, 30, 68, 650, 3 285 416 são múltiplos de 2 porque terminam em algarismo par. Os números 7, 15, 201, 1 483, 186 749 não são múltiplos de 2, pois nenhum deles termina em algarismo par. 

Divisibilidade por 3 

Observe, agora, o conjunto M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,...}. Repare que a soma dos algarismos de todos estes números é múltiplo de 3. Assim, um número é divisível por 3 quando a soma de todos os seus algarismos é múltiplo de 3. 

Exemplo:

Sem fazer a divisão, vamos comprovar que o número 34 572 é divisível por 3: 3 + 4 + 5 + 7 + 2 = 21, mas pode acontecer de não sabermos se 21 é ou não múltiplo de 3. Repetimos o método agora com o número 21, em que 2 + 1 = 3. Sabemos que 3 é múltiplo de si mesmo, portanto, 21 é divisível por 3, isto é, 21 é múltiplo de 3 e, conseqüentemente, 34 572 é divisível por 3. 

Divisibilidade por 5 

Observe o algarismo das unidades dos números do conjunto
M(5) = {0,5,10,15,20,25,30,35,...}.
É fácil perceber que eles terminam em zero ou em 5. Assim, um número é divisível por 5 quando termina em zero ou em 5. 

Exemplo:

Os números 20, 210, 2 105 são divisíveis por 5, pois o primeiro e o segundo terminam em zero e o terceiro em 5. 

Divisibilidade por 9 

Dado M(9) = {0,9,18,27,36,45,...} verificamos uma característica semelhante ao critério de divisibilidade por 3. Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é 9 ou múltiplo de 9. 

Exemplo:

O número 14 985 é divisível por 9? 

1 + 4 + 9 + 8 + 5 = 27

Se não soubermos se 27 é ou não múltiplo de 9, repetimos a operação agora com 27: 

2 + 7 = 9

Portanto, 27 é divisível por 9, isto é, 27 é múltiplo de 9 e, conseqüentemente, 14 985 é divisível por 9. 

Decomposição de um número em fatores primos
Um número Natural é um número Primo quando só tem por divisores ele mesmo e a unidade. 

Figura 1. Crivo de Eratóstenes

O estudo sobre os números Primos ganha um desenvolvimento particular na Grécia. Eratóstenes (por volta de 276 a.C. a 194 a.C.) e Euclides (século III a.C.?) são os responsáveis por este desenvolvimento. Eratóstenes desenvolveu um método de 'separar' os números Primos, menores de 100, dos números não-primos. Os números não-primos diferentes de 1 receberam o nome de números compostos, uma vez que se compõem do produto de números Primos. 

O método consiste em se riscar daí o nome Crivo primeiro o número 1, que não é Primo, em seguida os múltiplos de 2, depois os de 3, depois os de 5 e assim por diante. Os números que restarem são Primos. 

Observe que o número 1 não é Primo nem composto e que o número 2 é o único número Primo que é par. Note ainda que o conjunto dos números Primos é infinito. Os números 7, 19 e 47, como vemos no Crivo de Eratóstenes, são números Primos pois só têm como divisores eles mesmos e o 1 (Figura 1, acima). 

Para lembrar:

Decompor um número composto em fatores primos significa expressar este número como produto de outros que sejam primos.
Exemplo:

Queremos decompor o número 40 em fatores primos. 

40 2  (40 é divisível por 2, termina em 0)  40/2 = 20
20 2  (20 é divisível por 2, termina em 0)  20/2 = 10
10 2  (10 é divisível por 2, termina em 0)  10/2 = 5
5 5  (5 é primo. Divide-se por si mesmo)  5/5 = 1
1  

A decomposição de 40 em fatores primos é:
2 X 2 X 2 X 5 = 23 X 5 

Máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números
O máximo divisor comum de dois ou mais números Naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns desses números. 

Para calcular o m.d.c. de dois ou mais números, devemos seguir uma série de etapas: 

' Decompomos os números em fatores primos.
' Tomamos os fatores comuns com o menor expoente.
' Multiplicamos esses fatores entre si.
Exemplo:

Vamos calcular o m.d.c. dos números 15 e 24. Para isto, vamos decompô-los em fatores primos: 

15 3
5 5
1  
24 2
12 2
6 2
3 3
  1
15 = 3 X 5 e 24 = 23 X 3
O fator comum é 3
E 1 é o menor expoente dentre todos.

O m.d.c. (15, 24) = 3
Exemplo:

Queremos calcular o m.d.c. de 20 e 21. 

20 2
10 2
5 5
1  
21 3
7 7
1  
20 = 22 X 5 e 21 = 3 X 7
O fator comum é 1

O m.d.c. (20, 21) = 1

Para lembrar:

Dizemos que dois números Naturais distintos são Primos entre si quando seu m.d.c. é 1.

Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números Naturais não-nulos
É o menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números.
Para calcular o m.m.c. de dois ou mais números, devemos seguir também uma série de etapas: 

•  Decompomos os números em fatores primos.
•  Tomamos os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente.
•  Multiplicamos esses fatores entre si.
Exemplo:

Calculemos o m.m.c. dos números do primeiro exemplo, 15 e 24. 

Como já foram decompostos em fatores primos, temos: 

15 = 3 X 5

24 = 23 X 3
Os fatores comuns e não-comuns com

o maior expoente são 23, 3 e 5
Assim, o m.m.c. (15, 24) = 23 X 3 X 5 = 120 
Exemplo:

Calculemos o m.m.c. dos números do segundo exemplo, 20 e 21. 

20 = 22X 5

21 = 7 X 3

Os fatores comuns e não-comuns com

o maior expoente são 22, 3, 5 e 7.
O m.m.c. (20, 21) = 2 X  3  X  5 X 7 =  420

Relação entre o m.d.c. e o m.m.c. de dois números

O grego Eratóstenes, criador de um método especial para separar números Primos e não-primos

O produto de dois números é igual ao produto de seu m.d.c. por seu m.m.c. 

Exemplo:

Vamos calcular o m.d.c. e o m.m.c. de 30 e 50: 

30 2
15 3
5 5
1  
50 2
25 5
5 5
1  
30 = 2 X 3 X 5

50 = 2 X 52

O m.d.c. (30, 50) = 2 X 5 = 10

O m.m.c. (30, 50) = 2 X 3 X 52

= 150

Comprove, agora, a relação. Para tanto: Multiplique o m.d.c. e o m.m.c.: 

10 X 150 = 1 500

Em seguida, multiplique os dois números: 

30 X 50 = 1 500
EXERCÍCIOS

1. Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos números 24 e 180.

2. Quais dos seguintes números são Primos: 89, 504, 37, 18 e 243?

3. Achar todos os divisores de 50. Assinalar os que forem números Primos.

4. Dos seis números seguintes, indicar os que forem divisíveis por 2, 5 e 10: 2 418, 5 250, 633, 1 562, 13 000 e 125.

5. Qual algarismo devemos colocar no lugar de a, no número 546 20, para que esse número seja divisível por 3?

6. Escrever os seguintes números como produto de fatores primos: 225, 568 e 150.

Anterior Início