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Número Decimal: expressão na forma de fração e na forma decimal
Todo número Racional pode ser representado por uma fração. Toda fração pode ser representada por um número escrito em forma decimal, dividindo-se o numerador pelo denominador da fração: 

 

Uma fração é decimal quando seu denominador é 10, ou uma potência de 10, ou ainda, uma fração equivalente a frações desse tipo: 

Se uma fração é decimal, então sua expressão na forma decimal é um decimal exato. 

Os números decimais compreendem duas partes, inteira e decimal, separadas por uma vírgula. 

 

Na Figura 1, abaixo, são representados três números: 32,444; 27 504,53; e 0,3567 

Figura 1

Representação gráfica dos números decimais exatos

Para representar os números decimais sobre uma reta, adotamos o seguinte procedimento: 

•  Representamos os números inteiros como indica a Figura 2, abaixo:
Figura 2
•  Dividindo a unidade em dez partes iguais, obtemos os décimos e poderemos representar os números com uma ordem decimal (Figura 3, abaixo).
Figura 3
•  Se dividirmos cada décimo em dez partes iguais, ficam assinalados os centésimos, como podemos ver na Figura 4, abaixo. Representamos assim os números com duas ordens decimais.

Adotando este processo, podemos representar os diferentes números decimais exatos. 

Figura 4

Comparação de números decimais
Para comparar dois números decimais, devemos situá-los em sua posição relativa sobre a reta (Figura 5, abaixo): 

a < b se a estiver antes de b sobre a reta.
Figura 5
Exemplo:

 

Qual destes número é maior: 3,426 ou 3,45?
Para resolver esta questão, colocamos os números um embaixo do outro com os algarismos de mesma ordem alinhados: 

3,426
3,45

Os limites máximo e mínimo dos números do exemplo acham-se representados na reta da Figura 6, abaixo: 

Figura 6

Comparando o par de algarismos correspondentes aos centésimos, resulta que: 2 < 5  (Figura 7, abaixo): 

Figura 7

Conseqüentemente, e segundo o procedimento aplicado, diremos que 3,426 < 3,45

Operações com números decimais 

Adição de números decimais 

Para essa operação, organizamos os números de modo que as unidades de mesma ordem se correspondam e operamos como se fossem números inteiros, colocando a vírgula no lugar que lhe corresponde. 

Exemplo:
3,8754 + 92,6008 + 0,5 + 1,00079

Dispomos a adição da seguinte maneira: 

Subtração de números decimais 

Devemos proceder de maneira semelhante a da adição, colocando o minuendo embaixo do subtraendo, de modo que as unidades de mesma ordem se correspondam. 

Exemplo:
92,9754 – 3,68592

Dispomos a subtração da seguinte maneira: 

Multiplicação de números decimais 

Para multiplicar números decimais, agimos como se fossem números inteiros e, uma vez concluída a operação, separamos com a vírgula, a partir da direita do resultado final, tantas casas decimais quantas tenham o multiplicando e o multiplicador juntos. 

Exemplo:
•  Multiplicação de um decimal por 10 ou potências de 10:

Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1 000,..., temos de deslocar a vírgula do decimal para a direita, tantas casas decimais quantos forem os zeros. 

Exemplo:

Divisão de números decimais 

•  Divisão de dois números decimais:

Para dividir dois números decimais, devemos igualar o número de casas decimais do dividendo e do divisor, acrescentando zeros à direita do que tiver menor número de casas decimais. Depois, eliminamos as vírgulas e dividimos como se fossem números inteiros, continuando até obter o decimal desejado. 

Exemplo:
•  Divisão de um decimal por 10 ou potências de 10:

Neste caso devemos deslocar a vírgula do dividendo para a esquerda tantas casas quantos forem os zeros. 

Exemplo:
•  Divisão de um decimal por um número inteiro:

Temos de acrescentar ao divisor tantos zeros quantas casas decimais tiver o dividendo. Em seguida, eliminamos a vírgula e dividimos como se fossem números inteiros, continuando a divisão até o decimal desejado. 

Exemplo:

Decimais exatos e decimais periódicos
Todo número Racional pode ser escrito na forma de um numeral decimal exato ou de uma dízima periódica: 

É um decimal exato
ou
É uma dízima periódica 

Decimal exato 

Resulta de uma divisão exata ao dividirmos o numerador e o denominador de uma fração. 

Exemplo:

Dízima periódica simples 

•  Corresponde a um decimal cujo período começa imediatamente depois da vírgula.
Exemplo:

Dízima periódica composta 

Na dízima periódica composta, o período (número que se repete) do decimal não começa imediatamente após a vírgula. 

Exemplo:

Fração geratriz
Encontrar a fração geratriz de um número decimal é o mesmo que determinar a fração que o tem por expressão decimal. 

•  Fração geratriz de um decimal exato:

Chamamos à fração geratriz de um número Decimal. 

Exemplo:
x = 4,72

Multiplicamos os dois membros da igualdade por 10 ou uma potência de 10, de acordo com as casas decimais do número, a fim de obtermos um número Inteiro: 

•  Fração geratriz de uma dízima periódica simples:
Exemplo:

Multiplicamos os dois membros da igualdade por 10, 100, 1 000, ..., usando tantos zeros quantos algarismos tiver o período: 


Subtraímos a primeira igualdade da segunda:

Isolamos o x e obtemos a fração geratriz: 

•  Fração geratriz de uma dízima periódica composta
Exemplo:

Multiplicamos os dois membros da igualdade por 10, 100, 1 000, ..., usando tantos zeros quantas casas decimais não-periódicas houver. Assim, convertemos a dízima composta em dízima periódica simples: 

Agora devemos operar como fizemos na dízima periódica simples: 

Subtraímos a segunda igualdade da terceira: 

Agora, finalmente, isolamos ox: 

Representação gráfica das dízimas periódicas
Para representar uma dízima periódica sobre a reta, devemos achar sua fração geratriz. Em seguida, a representamos graficamente, utilizando o Teorema de Tales. 

Exemplo:

Vamos representar o númerona reta. 

Sua fração geratriz é.
Dividimos a unidade em 9 partes iguais e tomamos 7 delas.

Figura 8

Procedemos da seguinte maneira (Figura 8, ao lado):

•  Desenhamos uma reta e marcamos a unidade que sucede (ou antecede, no caso dos números serem negativos) imediatamente à dízima.
•  Traçamos uma linha auxiliar em uma das extremidades.
•  Marcamos nove divisões na linha auxiliar.
•  Unimos as extremidades livres e traçamos retas paralelas.
EXERCÍCIOS

1. Classificar em decimal exato, ou em dízimas periódicas simples ou compostas, os seguintes números decimais:
a) 2,424242...
b) 3,25
c) 2,14343...
d) ­ 0,4

2. Passe para a forma decimal os seguintes números racionais:
a) 13/11
b) 2/7
c) 4/13
d) ­ 5/6
e) 1/6
f) 11/9

3. Encontrar a fração geratriz dos seguintes números decimais:
a) 3,5
b) 4,52
c) ­1,2
d) 0,005

4. Achar a fração geratriz dos seguintes números decimais:
a) 2,7
b) 0,
c) 3,
d) ­1,

5. Determinar a fração geratriz dos seguintes números decimais:

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