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Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias  

Como representar os movimentos de inclinação no mundo? 

Uma equipe de astronautas prepara-se para entrar na atmosfera da Terra. É um momento delicado,
pois a nave deve ser manobrada até atingir uma inclinação determinada ou o melhor ângulo de retorno
à Terra – o único que evitará um choque destruidor. Como nesse exemplo, em inúmeras atividades
humanas aparecem inclinações que precisam ser calculadas e representadas. Para tanto,
o homem criou, com a Matemática, o conceito de ângulo.



1. Definição de ângulo

Definem-se de acordo com o movimento das inclinações: 

• 

Para o geômetra Euclides (360 a.C. a 275 a.C.), ângulo é a inclinação comum a duas retas concorrentes. Em duas estradas retas que se cruzam o ângulo é a inclinação que guardam entre si. Já duas retas concorrentes determinam quatro regiões angulares no plano, pois o dividem em quatro partes. Cada uma dessas regiões angulares é limitada por duas semi-retas com a mesma origem (Figura 1).

Para David Hilbert (1862 a 1943), ângulo é a figura ou a região angular limitada por um par de semi-retas com origem comum. Todas as esquinas do mundo são ângulos (Figura 2).

Para Achille Sannia (1822 a 1892), é o resultado da rotação de uma semi-reta em torno de sua origem em relação a outra semi-reta fixa num mesmo plano. Imagine um relógio cujo ponteiro dos minutos, por exemplo, está quebrado, apontando sempre para o número 12: o movimento do ponteiro dos segundos, em relação ao ponteiro imóvel, gera um ângulo diferente. À medida que o lado móvel avança em sua rotação, o tamanho do ângulo aumenta. Por exemplo, o ângulo  é maior do que o  (Figura 3).
Em todas as definições, verifica-se que um ângulo é formado por dois lados e seu vértice. Num ângulo  os lados do ângulo são as duas semi-retas  e  que o formam, e seu vértice é a origem comum B (Figura 4). O ângulo constitui-se, portanto, num conceito fundamental da geometria plana.

 

Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4

2. Representação dos ângulos
Um ângulo pode ser simbolizado de várias formas: 

Com um arco () diante de uma letra latina maiúscula:  A.
Com uma letra grega (,,). Ângulo .
Assinalando o vértice do ângulo com uma letra latina maiúscula e escrevendo sobre ela o símbolo ^, Â.
Marcando com uma letra latina maiúscula o vértice e com duas letras, também maiúsculas, dois pontos quaisquer situados em cada lado do ângulo. Para nomeá-lo, escreveremos as três letras juntas, sempre com a letra que representa o vértice no centro, e sobre elas o símbolo ^, .

 

Figura 5
3. O uso do sextante
É um aparelho de medida formado por um limbo graduado e dois espelhos: um se move de maneira solidária com um suporte que desliza sobre uma linha graduada; o outro se mantém fixo. Permite medir, por exemplo, a altura de um astro a partir de um barco ou avião. Com o sextante, observamos distâncias angulares de até 150 graus (Figura 5). 
 
4. Classificação dos ângulos
O fato de um ângulo ser maior ou menor é determinado pela maior ou menor rotação de uma das semi-retas que o formam. 

Considerando que uma volta completa é formada por 4/4 de volta: numa rotação menor que 1/4 de volta, isto é, menor que 90 graus, teremos um ângulo agudo; 1/4 de volta, isto é, 90 graus, corresponderá a um ângulo reto; com mais de 1/4 e menos de 1/2 volta, isto é, mais de 90 e menos de 180 graus, tem-se um ângulo obtuso; com 1/2 volta, isto é, 180 graus, forma-se um ângulo raso e com mais de 1/2 e menos de uma volta, isto é, mais de 180 e menos de 360 graus, temos um ângulo côncavo. 

 
Finalmente, com uma volta completa, isto é, 360 graus, ele será chamado de ângulo completo. 

Os ângulos menores que um ângulo raso recebem o nome de convexos e os maiores, côncavos. 

O ângulo que não é reto nem plano chama-se oblíquo. Portanto, todos os ângulos agudos e obtusos são oblíquos. Com um leque, podemos representar as classes de ângulos, como mostram as figuras à esquerda. 

5. Ângulos iguais
Dois ângulos são iguais ou da mesma amplitude quando coincidem ao serem superpostos (Figura 6, abaixo). 

Figura 6
Exemplo:

Tracemos com régua e compasso um ângulo igual a outro. Teremos um ângulo  = (na Figura 7, abaixo). 

Traçamos uma semi-reta qualquer de origem num ponto P. Este será um dos lados do ângulo. 

Com centro no vértice A do ângulo dado e uma abertura qualquer do compasso, traçamos um arco de circunferência com extremos nos lados do ângulo M e N. Com a mesma abertura do compasso e fazendo centro no ponto P, traçamos uma circunferência que corte a semi-reta num ponto Q. 

Figura 7
Medimos com o compasso a distância MN no ângulo dado e depois levamos esta medida sobre a circunferência desenhada inicialmente. Assinalamos assim o ponto R, como na Figura 7, ao lado. 

O ângulo igual a  = MAN é o ângulo

6. Comparação de ângulos
Vamos comparar dois ângulos para saber se são iguais ou diferentes. 

Figura 8
Figura 9
Figura 10
Marcamos e recortamos o primeiro ângulo  e o superpomos ao segundo, fazendo coincidir o vértice e um lado (Figura 8). Se os outros lados não coincidirem, os ângulos são diferentes. Representa-se esta diferença com o símbolo , isto é,   . Se o lado que não coincide do primeiro ângulo ficar no interior do segundo, dizemos que o primeiro ângulo é menor que o segundo e usamos o símbolo < para indicá-lo:  < (na Figura 9, à esquerda). Se o lado do primeiro ângulo não coincide e fica no exterior, dizemos que o primeiro ângulo é maior que o segundo. Usa-se o sinal > para indicá-lo: A >. (na Figura 10, à esquerda). 


Figura 11
7. Medidas de ângulos
Para medi-los, utilizamos o transferidor (Figura 11, ao lado). Trata-se de uma semicircunferência que apresenta duas graduações de 0° a 180° em sentidos opostos, para facilitar a medição de ângulos agudos e obtusos, conforme estejam em um ou outro sentido. Para utilizá-lo na medição de um ângulo (), fazemos coincidir o vértice (V) do ângulo com um risquinho vertical do transferidor e um dos lados com o zero da graduação. Com o outro lado do ângulo (VB) fazemos a leitura da abertura do ângulo que, no caso da ilustração, é de 130°. 

8. A base sexagesimal
O nosso sistema de numeração é decimal, isto é, tem base dez. Observe que a base decimal está nos dez dedos de nossas mãos. Numeramos as quantidades, formando grupos de dez (dez unidades, dez dezenas), daí nossa escrita ter dez algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Já os antigos babilônios (4000 a.C. a 500 a.C.) desenvolveram um sistema de numeração sexagesimal: inspirados nos seus estudos de astronomia, numeravam as quantidades formando grupos de 60, que era a sua base. Eles constataram que o Sol realiza o movimento completo no zodíaco em cerca de 360 dias (perto de um ano). Como a parte do sextante, isto é, a sexta parte de um círculo, é igual ao raio correspondente, este número teria originado a divisão do círculo em seis partes iguais a 60 unidades. A partir daí se desenvolveu a contagem do tempo. Foi a divisão do zodíaco em 360 partes que inspirou a divisão do círculo em 360 partes, recebendo a unidade o nome de grau. A base 60 também está em nossas mãos, utilizando os números 12 e 5 como bases auxiliares. A contagem na base 60 acontece da seguinte maneira: contamos de 1 a 12 com a mão direita, apoiando o polegar sucessivamente em cada uma das três falanges dos quatro dedos restantes da mesma mão. Chegando a 12 com esta mão, dobramos o dedo mínimo da mão esquerda. Voltamos novamente à mão direita, prosseguindo na contagem de 13 a 24 usando a mesma técnica. 

Figura 12

Depois, quando chegamos ao número 24, dobramos o dedo anular da mão esquerda e prosseguimos a contagem da mesma maneira, de 25 a 36, com a mão direita, e assim sucessivamente até 48 (dobrando então o dedo indicador da mão esquerda), e depois até 60, quando teremos dobrado os cinco dedos da mão esquerda (Figura 12). 

Figura 13
9. Grau sexagesimal
A principal unidade de medida de ângulos é o grau sexagesimal. Imaginemos uma circunferência dividida em 360 partes iguais (Figura 13). Grau sexagesimal é cada uma das partes ou arcos que resulta da divisão da circunferência em 360 partes iguais ou, o que dá no mesmo, cada quarta parte da circunferência (um ângulo reto) em 90 partes iguais. Representa-se por ( ° ) e escreve-se na parte superior direita do número que indica sua medida. 

O ângulo que tem como vértice o centro da circunferência e abarca cada uma das referidas partes tem 1 grau sexagesimal (1°). 

Se cada ângulo de 1° sexagesimal for dividido em 60 partes iguais, cada uma delas será um ângulo de um minuto sexagesimal ( ' ) e, se este ângulo for dividido, por sua vez, em 60 partes iguais, cada uma delas será um ângulo de um segundo sexagesimal ( ' ). 

1° = 60 : 1' = 60' ; 1° = 3.600'

Um ângulo de 45 graus, 26 minutos e 32 segundos é representado assim: 

45° 26' 32'

10. Grau centesimal ou grado
Se dividirmos uma circunferência em 400 partes iguais (arcos), ou, o que dá no mesmo, cada quarta parte da circunferência (um ângulo reto) em 100 partes iguais, cada uma delas corresponderá a um grau centesimal (g) (Figura 14, abaixo) também chamado de grado. Se, por sua vez, dividirmos este grau em 100 partes iguais, cada uma delas será um ângulo de um minuto centesimal (1m), e se o dividirmos novamente em 100 partes iguais, cada uma terá um segundo centesimal (1s).  

1g = 100g 1m = 100s 1g = 10.000s 

Um ângulo de 42 graus, 35 minutos e 30 segundos centesimais é representado como 42g 35m 30s. Devemos considerar, porém, que, se não houver menção ao tipo de graus que se está usando, entenderemos sempre que se trata de graus sexagesimais. O grau centesimal é, comumente, chamado de grado. 

Exemplo:

Expressar na forma de graus, minutos e segundos um ângulo de 32,24°. O número de graus inteiros é 32, que é a parte inteira deste número decimal. Em seguida, devemos passar a parte decimal de grau (0,24°) para minutos e isto se faz multiplicando-a por 60: 

Figura 14
0,24° = (0,24 X 60)' = 14,4'

O número de minutos inteiros é 14, que é a parte inteira do decimal resultante. Devemos agora passar a parte decimal de minuto (0,4') para segundos. Isto se faz multiplicando-a por 60: 

0,4' = (0,4 X 60)' = 24'

Assim, o ângulo dado equivale a: 32° 14' 24'. 

11. Operações com ângulos 

Soma de ângulos 

•  Para somar graficamente dois ângulos, fazemos coincidir um lado de um deles com o lado de um outro e os dois vértices, de modo que as duas regiões angulares não se interceptem. O ângulo que é soma dos dois ângulos fica determinado pelos dois lados não comuns (Figura 15, abaixo).
Figura 15

Queremos somar os ângulos  e

 +  =

Para somar numericamente dois ângulos (suas medidas), primeiramente adicionamos as unidades e subunidades correspondentes.
Exemplo:

Para somar 32° 25' 14' e 12° 49' 51', teremos: 

32° 25' 14' + 12° 49' 51' = 44° 74' 65'

Ao efetuar a soma desses ângulos, observamos que os segundos e os minutos resultantes ficam acima de 60 e devemos transformá-los, portanto, na unidade superior. Para isso, dividimos esses valores por 60: 

65' / 60 = 1' e sobram 5'

Somando o 1' aos 74' fornecidos pela soma, obtemos 75'. Em seguida, dividimos este valor por 60: 

75' / 60 = 1° e sobram 15'

Somamos este 1° aos 44° obtidos na soma, obtendo 45°. O resultado definitivo será: 

45° 15' 5'

Subtração de ângulos. 

Para subtrair graficamente dois ângulos, fazemos coincidir um dos lados do menor com um dos lados do maior e os dois vértices, de modo que o ângulo menor fique contido no ângulo maior. O ângulo diferença é o que se obtém depois de suprimir a região angular menor da região angular maior (Figura 16, abaixo). 

Figura 16

Ao subtrairmos os ângulos  e , temos: 

 ­ =
Exemplo:

Para subtrair dois ângulos, é preciso que os números de graus, minutos e segundos do minuendo (número de que se subtrai outro) sejam maiores que os do subtraendo. Sendo assim, subtraem-se segundos de segundos, minutos de minutos e graus de graus. Nos casos em que alguma expressão do minuendo for menor que a do subtraendo, temos que fazer as transformações: 1° em 60', 1' em 60', no minuendo, até poder realizar a subtração em todas as unidades. 

Exemplo:

Realizar a diferença entre 28° 12' 34' e 13° 40' 52': 

Como há menos segundos no minuendo do que no subtraendo, transformamos 1' dos 12' que existem no minuendo em segundos multiplicando-o por 60. O resultado, 60', somamos aos 34' existentes, totalizando 94'. Restam-nos 11', que são insuficientes. Temos de transformar 1° em minutos multiplicando-o por 60. O resultado, 60', somamos aos 11' existentes, totalizando 71'. O resultado definitivo é: 

27° 71' 94' ­ 13° 40' 52' = 14° 31' 42'

Multiplicação de um número por um ângulo 

Para multiplicar graficamente um número natural por um ângulo, soma-se este ângulo a ele mesmo quantas vezes o número natural indicar (Figura 17, abaixo).
Para multiplicar numericamente um número por um ângulo, multiplica-se o número pelos segundos, minutos e graus, respectivamente.
Exemplo:
Figura 17
11° 23' 31' X 6 = 66° 138' 186'

Como o número de segundos e o de minutos são maiores do que 60, temos de transformá-los na unidade superior. 186'/ 60 = 3' e sobram 6'. Somamos os 3' aos 138' que tínhamos, obtemos 141'. 141' / 60 = 2° e sobram 21'. Somamos os 2° aos 66° que tínhamos e obtemos 68°. O resultado final é: 68° 21' 6'. 

Divisão de um ângulo por um número 

Esta operação nem sempre pode ser feita graficamente. Não é possível, por exemplo, dividir um ângulo em três outros iguais com a ajuda de régua e compasso. Portanto, esta operação sempre terá de ser feita numericamente. Para isto, dividimos os graus, os minutos e os segundos pelo número. Devemos considerar que os diferentes restos obtidos terão de ser previamente transformados na unidade inferior. 

Exemplo:

Realizar a divisão de 356° 13' 38' por 12: O resultado final será: 29° 41' 8' e 2' de resto. 

Se o número de graus for menor que o número pelo qual estamos dividindo, transformamos os graus em minutos e damos início à divisão. 

12. Ângulos consecutivos e adjacentes

Figura 18
Dois ângulos são consecutivos quando têm o mesmo vértice e um lado comum entre eles. Assim, os ângulos  esão consecutivos, o lado comum é  e os lados exteriores são  e . Três ou mais ângulos são consecutivos quando cada um deles é consecutivo ao seu imediato. Assim, os ângulos Â, ,  e  são consecutivos (Figuras 18 e 19, ao lado e abaixo).


Figura 20
 
Figura 19  
A soma dos ângulos consecutivos de mesmo vértice que se formam em um dos semiplanos determinados por uma linha reta é igual a dois ângulos retos, isto é, a 180°. A soma dos ângulos
consecutivos que podem ser formados ao redor de um ponto
é igual a quatro ângulos retos.


Ângulos adjacentes são dois ângulos consecutivos cujos lados não comuns estão na mesma reta. A soma dos mesmos é 180°. É o caso dos ângulose(Figura 20). Dois ângulos adjacentes juntos formam um ângulo raso. Dois ângulos adjacentes iguais são dois ângulos retos (Figura 20, acima).

13. Ângulos complementares e suplementares

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Cada um é complementar do outro (Figura 21, abaixo). Sendo x e y as medidas de dois ângulos complementares teremos a igualdade:
x + y = 90°

O ângulo complementar de 40° é 50° . 

Figura 21

Para achar o complementar de um ângulo, basta traçar pelo vértice dele uma reta perpendicular a qualquer um dos lados, ficando o ângulo dado dentro do ângulo reto que se forma. 

Dois ângulos são suplementares quando sua soma é 180°, isto é, equivalente a um ângulo raso. Cada um deles é suplementar do outro (Figura 22, abaixo). Sendo x e y as medidas de dois ângulos suplementares, teremos a igualdade:
x + y = 180°

O ângulo suplementar de 60° é 120° . 

Figura 22
Figura 23

14. Bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo é a semi-reta que tem origem no vértice desse ângulo e o divide em duas partes iguais. Na Figura 23, acima, a bissetriz do ângulo  é a semi-reta . Todo ponto da bissetriz é eqüidistante (fica a igual distância) dos dois lados do ângulo. 

Assim, na Figura 23 vemos que: 

PD = PE

As bissetrizes de dois ângulos adjacentes são perpendiculares. 

Podemos comprová-lo na Figura 24, abaixo. 

Figura 24
2a + 2b = 180°

Conseqüentemente: 

a + b =  = 90°


Figura 25
15. Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos convexos são opostos pelo vértice quando os lados de um estão na mesma reta dos lados do outro. Os ângulos  e  da Figura 25, à direita, são opostos pelo vértice. Também são opostos pelo vértice os ângulos  e

Propriedades 

Dois ângulos opostos pelo vértice são iguais. Se considerarmos a linha reta AB, o ângulo  tem como ângulo suplementar o ângulo . Se considerarmos a linha reta CD, o ângulo  tem como ângulo suplementar o mesmo ângulo ; portanto, os ângulos  e  são iguais já que têm o mesmo ângulo suplementar.
As bissetrizes dos ângulos opostos pelo vértice estão na mesma reta. Se traçarmos a bissetriz do ângulo  (Figura 25, acima, à direita), teremos que as bissetrizes  e  dos ângulos suplementares  e  serão perpendiculares entre si. O mesmo acontecerá com as bissetrizes  e  dos ângulos suplementares  e . Por conseguinte, os ângulos  e  serão suplementares e os lados não comuns,  e , estarão em linha reta.
As bissetrizes dos quatro ângulos formados por duas retas que se cortam constituem duas retas perpendiculares entre si.
EXERCÍCIOS

1. Expressar em graus, em minutos e em segundos a medida do ângulo  = 55 428'.

2. Expressar em segundos a medida do ângulo  = 12° 30' 42'.

3. Somar os ângulos A = 25° 52' 20' e = 12° 13' 26'.

4. Calcular a diferença entre os ângulos  = 30° e = 12° 20'.

5. Multiplicar o valor do ângulo  por 5, sendo  = 8° 6' 9'.