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Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias  

O que é comum a todos os seres e às suas sombras numa certa hora do dia? 

Conta a lenda que quando o matemático e filósofo grego Tales (século VI a.C.) chegou ao Egito, os sacerdotes pediram-lhe que averiguasse a altura da pirâmide de Quéops. Tales traçou uma linha no solo, marcando nela sua altura e esperou que sua sombra, projetada pelo sol, ficasse igual à sua altura; nesse momento, mediu a sombra projetada pela pirâmide. O matemático respondeu aos sacerdotes: "Agora que minha sombra é igual à minha altura, o comprimento da sombra da pirâmide deve coincidir com o comprimento de sua altura". Podemos também medir a altura de edifícios, árvores, postes telefônicos pela sombra que projetam no solo.
 

1. O que é semelhança em geometria
As figuras geométricas são semelhantes se possuem exatamente a mesma forma, independentemente de seu tamanho. Por isso podemos dizer que um quadrado é semelhante a todos os outros quadrados. Do mesmo modo, dois círculos, quaisquer que sejam, serão sempre semelhantes. 

Estas afirmações, contudo, não podem ser feitas para quaisquer triângulos. Quando é que dois triângulos são semelhantes; isto é, quando é que possuem a mesma forma? É o que estudaremos neste capítulo.

Figura 1
Figura 2
Figura 3

2. Triângulos em posição de Tales
Considere o triângulo MNP da Figura 1.

Trace sobre ele uma reta paralela ao segmento MP, como indica a Figura 2.

Podemos observar, na Figura 3, que se formou um novo triângulo, M'NP'

Chamaremos os triângulos MNP e M'NP' de triângulos em posição de Tales, pois podemos aplicar a eles o Teorema de Tales: 

 

Para lembrar:

Dois triângulos em posição de Tales têm os ângulos correspondentes iguais e seus lados correspondentes proporcionais.

3. Semelhança de triângulos
Observe agora os dois triângulos da Figura 4: 

Figura 4

Diremos que dois triângulos são semelhantes se tiverem: 

• Todos os ângulos correspondentes iguais:

 = ; Â = Â;  =

• Os lados homólogos, isto é, proporcionais:

Sendo a razão de semelhança ou constante de proporcionalidade. 

 

Para lembrar:

Dois triângulos em posição de Tales são triângulos semelhantes.

Critérios de semelhança de triângulos 

 

Sabemos que dois triângulos são semelhantes se tiverem os ângulos iguais e os lados correspondentes proporcionais. Os critérios de semelhança comprovam essas condições: 

• Dois triângulos são semelhantes se possuem os lados homólogos proporcionais. Vamos demonstrar essa afirmação observando a Figura 5. Comprovamos que:

 

Construímos agora um triângulo com razão de semelhança K, em posição de Tales, em relação ao triângulo ABC (Figura 6 e Figura 7). 

Figura 6Figura 7

• Os triângulos:

 e  

têm os lados iguais, pois ambos têm lados proporcionais aos lados do triângulo: 

, com a mesma razão de semelhança.

Portanto, se os triângulos  e  são semelhantes, então o triângulo MNP é semelhante ao triângulo ABC. 

• Se dois triângulos têm os ângulos correspondentes iguais, eles são semelhantes.

Figura 8

Desenhamos novamente dois triângulos. Construímos um triângulo  (Figura 8) em posição de Tales com relação ao triângulo, com a condição de que: 

E: 

Os triângulos  e  são congruentes, pois: 

Condição que impusemos pela hipótese estabelecida para ângulos de lados paralelos. Isso
implica que: 

 =

Figura 9

Portanto, se dois ângulos correspondentes são iguais, o terceiro também será. 

• Se dois triângulos têm dois lados proporcionais e o ângulo compreendido igual, são triângulos semelhantes (Figura 9).

Figura 10

Construímos, em seguida, um triângulo em posição de Tales com relação ao triângulo , resultando triângulos semelhantes, com razão de semelhança
(Figura 10). 

Os triângulos: 

 e  são congruentes, pois: 

 =

Com o que: 

Pela hipótese estabelecida, os dois lados são proporcionais aos lados correspondentes do triângulo  com a mesma razão de semelhança. 

Portanto, o triângulo  é semelhante ao triângulo

Critérios de semelhança de triângulos retângulos 

Todos os triângulos retângulos têm o ângulo reto igual, portanto diminuem as condições para que eles sejam semelhantes. 

• Dois triângulos retângulos são semelhantes se têm dois catetos proporcionais (Figura 11).

Figura 11

• Dois triângulos retângulos são semelhantes se têm um ângulo agudo igual (Figura 12).

Figura 12

• Dois triângulos retângulos são semelhantes se têm a hipotenusa e um cateto proporcionais (Figura 13).

Figura 13

Propriedades dos triângulos semelhantes 

Figura 14

• Em dois triângulos semelhantes, a razão de suas alturas correspondentes é igual à razão de semelhança (Figura 14).
• A razão das áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.

De acordo com a Figura 14, podemos afirmar que: 

Aplicação prática da semelhança de triângulos 

Exemplo:

Imagine que queremos medir a altura de uma árvore. 

Para isso, devemos seguir o seguinte procedimento: 

• Colocamos uma vara verticalmente ao solo e medimos sua altura h'.
• Medimos a sombra que se projeta, s'.
• Tiramos a medida da sombra projetada pela árvore, s.
• Finalmente, calculamos a altura da árvore conforme o esquema:

Agora podemos responder à pergunta feita no início do capítulo: 

• O que é comum a todos os seres e suas sombras numa certa hora do dia? É a razão de semelhança, que é a mesma, entre as suas alturas e os comprimentos de suas sombras.

Para lembrar:

Se, numa certa hora do dia, dividirmos as alturas de todos os seres que existem na região abrangida por aquela hora pelo comprimento de suas respectivas sombras, obteremos o mesmo número!

Isso acontece porque todos os triângulos que se formam tendo como lados a altura do objeto, o comprimento de sua sombra e a parte do raio de sol, compreendida entre as extremidades do objeto e de sua sombra, são semelhantes entre si. 

EXERCÍCIOS

1.Dois triângulos eqüiláteros são semelhantes? Por quê?

2.Dois triângulos isósceles quaisquer são semelhantes? Por quê?

3.Calcular a altura da torre de uma igreja que projeta uma sombra de 18 metros de comprimento se, no mesmo instante, uma vara de 1,5 metro produz uma sombra de 2,5 metros.

4.Se uma haste de um metro projeta uma sombra de 1,5 metro, qual será o comprimento de uma árvore com uma sombra de 4,5 metros no mesmo instante?

5.Em certo momento, a sombra projetada por uma torre tem 24 metros e a sombra projetada por uma pessoa tem 80 centímetros. Qual é a altura da torre se a pessoa tem 1,85 metro?

6.Se uma haste de um metro projeta uma sombra de 2 metros, qual será a altura de um poste de iluminação que no mesmo instante tem uma sombra de 15 metros?