Seno de um ângulo agudo

Chamamos de seno do ângulo  (Figura 1) a razão entre as medidas do cateto oposto a este ângulo (AB) e da hipotenusa (OA).

Figura 1

Podemos expressá-lo da seguinte forma:

Partindo do ângulo agudo , vamos desenhar o triângulo retângulo (AOB) que o contenha, escolhendo um ponto A em um dos lados do ângulo e desenhando uma reta perpendicular (AB) ao outro lado.

O que ocorreria se tivéssemos escolhido o ponto C em vez do ponto A? O ângulo teria outro valor?

Figura 2

Veja a solução para estas duas perguntas na Figura 2, ao lado.

Observe que os triângulos retângulos OAB e OCD têm os três ângulos iguais e por isso são semelhantes.

A razão entre o cateto oposto ao ângulo  e a hipotenusa será a mesma nos dois triângulos, isto é, o valor do seno não muda:

Para lembrar:

Assim, conhecendo o seno de um ângulo agudo, poderemos calcular os comprimentos dos lados a partir desta razão.

Se o sen  é igual a 2/3 e o cateto oposto mede 6 cm, podemos saber quanto mede a hipotenusa (Figura 3, abaixo).

Figura 3

sen  ; substituindo sen por seu valor, teremos que: . Resolvendo esta igualdade, obtemos: 2x = 18, ou seja, x = 9

Portanto, a hipotenusa do triângulo mede 9 cm.

Cosseno de um ângulo agudo

Figura 4

Partindo da construção de um triângulo com um ângulo agudo, chamamos cosseno do ângulo  a razão entre as medidas do cateto adjacente a este ângulo e da hipotenusa do triângulo (Figura 4, ao lado).

Assim, a expressão será:

Podemos afirmar que o cosseno de um ângulo agudo é sempre um número positivo menor que 1 porque um cateto de um triângulo retângulo é sempre menor que a hipotenusa.

A razão se manterá sempre constante seja qual for o triângulo escolhido, pois os triângulos retângulos construídos a partir do ângulo agudo são semelhantes:

Observe a ilustração desta expressão na Figura 5, abaixo:

Figura 5

Tangente de um ângulo agudo

Até agora vimos duas razões (o seno e o cosseno) que relacionam os catetos do triângulo retângulo à hipotenusa.

A tangente de um ângulo agudo é a razão entre os dois catetos do triângulo retângulo (Figura 6, abaixo).

Figura 6

Chamamos de tangente do ângulo  a relação:

Para lembrar:

2. Propriedades dos ângulos agudos de um triângulo
Num triângulo retângulo, os dois ângulos agudos somam 90°; portanto, são ângulos complementares.

O cateto oposto ao ângulo  é o cateto adjacente ao ângulo e vice-versa (Figura 7, abaixo). Essa característica permite relacionar o seno de um desses ângulos com o cosseno do outro, pois o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu ângulo complementar, como é demonstrado em seguida:

Figura 7

Uma outra maneira de expressá-lo é:

sen  = cos (90° – )

cos  = sen (90° – )

A generalização das razões trigonométricas

Como vimos até aqui, as razões trigonométricas referem-se a ângulos agudos de um triângulo retângulo. Ao trabalhar com elas, o homem percebeu suas limitações e foi elaborando o seu aperfeiçoamento.

As razões trigonométricas no triângulo não permitiam uma generalização. Cada caso era tratado como um caso independente.

Dados dois lados e o ângulo entre eles, tornava-se fácil determinar o terceiro lado. Qual significado teriam as razões trigonométricas dos triângulos com ângulos obtusos? E do ângulo reto?

Questões como estas fizeram com que os matemáticos aperfeiçoassem as 'ferramentas' trigonométricas. Isto foi possível definindo-se inicialmente as razões conhecidas num quadrante trigonométrico; isto é, fazendo-se o ângulo variar no primeiro quadrante de um plano cartesiano.

Vamos definir novamente as razões trigonométricas, agora nos quadrantes trigonométricos.

Figura 8

Seno de um ângulo

Traçamos um sistema de coordenadas cartesianas e um ângulo  (Figura 8, ao lado). Tomamos um ponto P no segundo lado do ângulo de coordenadas (a, b) e designamos de r a distância do ponto P à origem do sistema de coordenadas.

Chamamos de sen  à razão entre a ordenada b do ponto P e a distância r; isto é:

O sinal do seno dependerá do sinal da ordenada do ponto, ou seja, do quadrante a que pertença o ângulo.

Figura 9a

Figura 9b

Será positivo para o primeiro e o segundo quadrantes (ordenadas positivas; Figura 9a, ao lado), e negativo para o terceiro e o quarto quadrantes (ordenadas negativas; Figura 9b, ao lado).

Cosseno de um ângulo

Figura 10

A razão entre a abscissa de um ponto qualquer (Figura 10, à direita) do segundo lado de um ângulo  e sua distância até a origem do sistema de coordenadas é o cosseno do ângulo e mantém-se constante:

Figura 11a	Figura 11b

O sinal do cosseno de um ângulo depende do sinal da abscissa do ponto, pois a distância r é sempre positiva. Portanto, o cos será positivo no primeiro e no quarto quadrantes (Figura 11a, ao lado), e negativo nos segundo e no terceiro quadrantes (Figura 11b, ao lado).

As razões trigonométricas são definidas sobre um sistema de eixos de coordenadas particulares a partir de um ponto P (x, y) de uma circunferência que tem como centro a origem do sistema de coordenadas e 1 como raio. Assim, aparece um triângulo com um ângulo formado pelo eixo OX e o raio OP.

Figura 12

Representando graficamente como na Figura 12, ao lado, o seno e o cosseno de um ângulo serão, respectivamente, a ordenada e a abcissa do ponto P.

Para lembrar:

Tangente de um ângulo

Figura 13

A tangente de um ângulo é a razão entre a ordenada e a abscissa de um ponto qualquer do segundo lado do ângulo  (Figura 13, ao lado):

O sinal da tangente dependerá do sinal das coordenadas do ponto escolhido. Será positiva se as coordenadas forem do mesmo sinal e negativa se forem de sinais contrários.

Para lembrar:

Não podemos calcular a tangente de todos os ângulos. Quando os pontos do segundo lado do ângulo têm a abscissa igual a 0, a tangente não existe, porque a razão  não tem sentido.

3. Razões inversas

Cossecante de um ângulo

É a razão inversa do seno:

Secante de um ângulo

É a razão inversa do cosseno:

Cotangente de um ângulo

É a razão inversa da tangente:

Figura 14

4. Determinação de um ângulo

A partir das razões expostas, podemos dizer que um ângulo fica perfeitamente determinado se soubermos a que quadrante pertence e conhecermos uma de suas razões — o seno, o cosseno ou a tangente — sabendo que o primeiro lado do ângulo é o semi-eixo positivo das abscissas.

Na Figura 14, acima, representamos graficamente um ângulo  do quarto quadrante cuja tangente é –2.

Para tal, determinamos um ponto qualquer do quarto quadrante cuja razão é –2.

Este será o ponto P de coordenadas: (1, –2) ou (3, –6).

5. Relações entre razões trigonométricas
As razões trigonométricas estão relacionadas entre si de maneira que, partindo de uma delas, podemos calcular as outras sempre e quando soubermos a que quadrante pertence o ângulo.

Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo determinado, podemos concluir que:

Sabemos também que: a² + b² = r²

Portanto, o quociente  é igual a 1.

Em vez de escrevermos (sen  )² podemos escrever somente sen ² .

Assim, temos: sen²  + cos² = 1

Se o cos  não for igual a 0, a tangente é o quociente entre o seno e o cosseno.

Sabemos que sen  e cos ; então:

6. Redução ao primeiro quadrante
Quando fazemos operações com ângulos dos segundo, terceiro e quarto quadrantes, é preciso realizar a redução ao primeiro quadrante por três motivos:

Redução do segundo ao primeiro quadrante

Figura 15

Dois ângulos suplementares têm os senos iguais e os cossenos e as tangentes opostos (Figura 15, à esquerda).

Redução do terceiro ao primeiro quadrante

Figura 16

Dois ângulos que diferem em radianos ou 180° têm as tangentes iguais e os senos e cossenos opostos (Figura 16, à esquerda).

Redução do quarto ao primeiro quadrante

Figura 17

Dois ângulos opostos têm os cossenos iguais e as razões seno e tangente opostas (Figura 17, à esquerda).

7. Equações trigonométricas
São igualdades entre duas expressões contendo razões trigonométricas de um ângulo.

Os valores do ângulo que satisfazem a igualdade são as soluções da equação.

Não existe uma maneira definida de resolvê-las.

Considerando que:

Substituímos na primeira expressão e obtemos:

As soluções possíveis contidas numa volta serão:

8. Resolução de triângulos
Conhecendo três dos seis elementos (três lados e três ângulos) que formam um triângulo, é possível calcular todos os seus lados e ângulos. No entanto, um dos dados conhecidos tem de ser um lado. Nesse caso, a resolução baseia-se em dois grupos de fórmulas:

Relação entre os lados e os ângulos opostos:

Lei dos senos

Figura 18

Nos triângulos retângulos AHC e BHC da Figura 18, ao lado, verifica-se que:

Daí obtemos a igualdade:

Ou também

Cada igualdade pode ser escrita na forma de proporção, de modo a ficarmos com um grupo de fórmulas denominada lei dos senos :

Estas proporções são válidas para qualquer tipo de triângulo: acutângulo, obtusângulo ou retângulo.

Relação entre os três lados e os ângulos

Lei dos cossenos

Figura 19

Vamos interpretar agora a Figura 19, ao lado.

Com o estudo e desenvolvimento do Teorema de Pitágoras, comprovamos que:

Mudando as letras, podemos obter duas igualdades análogas e assim teremos um grupo de três fórmulas denominadas lei dos cossenos:

Estas fórmulas são válidas para qualquer tipo de triângulo.

9. Cosseno da diferença e da soma

Observe agora a Figura 20a, abaixo.

Figura 20a	Figura 20b

Temos os ângulos  e e queremos calcular o cosseno de sua diferença ( – ) e de sua soma ( + ).

Aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo ABC, temos:

Como sen²  + cos² = 1 e sen² + cos² = 1 podemos escrever:

Observe agora o triângulo DEF (Figura 20b, acima). Aplicando-se o Teorema de Pitágoras temos:

Como sen²( – ) + cos²( – ) = 1 temos que:

DE2 = 2 – 2cos( – )

Como os arcos AB e DE têm a mesma medida, temos que AB = DE.

Assim, igualando-se as duas expressões, obtemos:

O que dá:

E também:

Onde calculamos a fórmula do cosseno da soma:

10. Seno da diferença e da soma

Figura 21

Vamos descobrir o seno da soma, partindo do cosseno de uma diferença que já demonstramos.

Para qualquer ângulo:

Como observamos na Figura 21, ao lado.

Da mesma maneira:

Substituindo na fórmula anterior o ângulo  por – .

O seno da soma é imediato:

11. Razões do arco duplo
Partindo das expressões que obtivemos para , calcularemos para 2 :

Com o que:

12. Razões do arco metade
Se aplicarmos a fórmula do cosseno do arco duplo a cos , obteremos:

Se expressarmos o segundo membro de modo a só aparecer o seno ou o cosseno:

O duplo sinal do radical prevalece até sabermos a que quadrante pertence o ângulo  .

EXERCÍCIOS 1. Calcular o seno de um ângulo de 45° sabendo que os dois catetos do triângulo retângulo medem 1 cm. 2. O seno de um ângulo agudo é igual a 0,6. Desenhar este ângulo e calcular o seno de seu ângulo complementar. 3. Calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo indicado na Figura 22, abaixo.   Figura 22 4. Suponhamos que sen = 24/25 e que pertença ao primeiro quadrante. Calcular: a)cos (– ) b)tg (+ ) c)sen (– ) 5. Calcular: a)sen 120° b)tg 5 / 4 c)sen 330°